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例谈几种意识在数列问题中的应用 数列问题在高考中是必考的知识点之一，在高考中有着举足轻重的地位。然而，在近几年的教学中，笔者常常会发现学生对数列问题有恐惧之感，原因是他们在遇到具体的数列问题时常常会思路中断，思维受阻，不知道该如何发挥主观能动性来解决问题。那么，在解决数列问题时学生的主观能动性从何而来？笔者认为，在我们学习数列的过程中应牢牢把握几种常用的意识来从容应对。以下是我们用一些具体的例子，来阐述这样的意识在数列问题中的应用，以供参考。 一 树立“通解通法”意识 数列这一章从等差数列，等比数列开始正式讲起，这也是数列中的精华部分，我们必须首先牢牢掌握等差等比数列的含义，通项公式以及求和公式，这是我们学好数列的基础。在数列的实际问题中，也许解决问题的方法有很多，但我们要求学生一定要树立“通解通法”意识，以不变应万变。学生在一时想不出比较简单的方法时，通常可采用这样的意识，提高解题的准确率。 等差数列中，，求的值. 解 设的首项为，公差为 由于 解得：. 各项都为正数的等比数列的前项和为，若求的值. 解 设的首项为，公比为，由于则立刻可以判断出. 由 解得： ，代入（1）式，可以得出 ，因此可以求出 . 点评：“通解通法”意识要求学生在解决数列问题时如果一时想不出简单有效方法，设出等差等比数列的基本量，根据条件求出基本量，从而使问题得以解决。其缺点是有时该方法的计算量比较大. 二 树立“转化”意识 在高中课本中详细介绍了等差数列与等比数列的公式，性质，其目的是一方面让学生掌握它们本身，更重要的是要求学生学以致用，利用它们来解决一些非等差等比数列的问题。这就要求学生在学习的过程中要学会“转化”，强调“转化”意识，将复杂的问题转化为我们熟知的问题来解决。 已知数列满足，求数列的通项公式。 解 设，即有，与已知条件比较可得， 因此：，故是等比数列，公比为2，首项为2 ，从而. （2008年四川高考题）已知数列的前项和， 证明：数列是一个等比数列； 求数列的通项公式. 解 （1）由于，，两式相减得，，即有 ，所以数列是一个首项为2，公比为2的等比数列. 由（1）知，等式两边同除以，得到 ， 所以数列是等差数列，公差为，首项为. ，因此数列的通项公式为. 点评：对于例3，形如的递推数列，都可以设，应用待定系数法求出，然后转化为等比数列来解决。这两个例题的解决都隐含了“转化”思想，将一些复杂的数列问题转化为我们熟知的等差等比数列来求解，化难为易，同学们在学习的过程中应树立“转化”意识。 三 树立“递推——联系”意识 在新课标下，递推关系成为数列问题的一大特色，在高考中常常会出现数列的递推关系，递推数列问题成为高考中的热点，从形式上来看，递推关系大致可以分为：项与项的递推，和与和的递推，项与和的递推。递推公式有的是直接给出，有的要求学生自己寻求，形式是多种多样的。我们必须将所学的有关数列知识以及其他知识联系起来，将问题得以解决。 （2007年广东高考题）已知函数，是方程的两个根（），是的导数，设 求的值； 已知对任意的正整数有，记，求数列的前项和. 解：（1）由求根公式； （2）由可以求出，且由 得 因此数列是以首项，公比为2的等比数列， . 点评：本题中出现的递推关系是项与项的递推关系，同时该递推关系通过函数导出，所含的知识点较多，需要我们将所学的知识点联系起来，将问题解决。 四 树立“分类讨论”意识 对于数列问题，一个基本的“分类讨论”思想是在等比数列的求和公式中出现的：在求等比数列的前项和时，一定要根据公比的取值是否为1，确定前项和。例如在我们的例2中就有所体现。“分类讨论”思想在数列中不仅仅表现于此，在复杂的数列综合题中会常常遇到，下面我们结合一个具体的例子来分析“分类讨论”思想的重要性。 例6 （天津高考题）已知 当时，求数列的前项和； 求. 解 （1）当时，，显然通项满足错位相减法的形式条件，利用基本方法： ，两式相减得到： 若，得到：， 从而. 若，则. （2）由（1）知， 当时，，则； 当时，通过计算， ， 此时 ； 若，则； 若，则. 点评：“分类讨论”意识将一个综合性较强的问题分解成系列简单的子问题，在平时的学习中应该形成这样的意识。 总之，本文例谈了几种常见的数学意识在数列学习过程中的应用，这几种意识在我们整个数学的学习中均有着重要的作用，对于我们学生在平时的学习中应该树立这样的数学意识。 杨原明 西安交通大学苏州附属中学 邮编215021