具有不同阻尼的非线性梁方程定解问题的适定性研究.docVIP

太原理工大学硕士研究生学位论文　 具有不同阻尼的非线性梁方程定解问题的适定性研究　 摘　要　 　 偏微分方程是联系着自变量、未知函数及其偏导数的关系式，它分为 线性偏微分方程和非线性偏微分方程。自然科学和工程技术中的许多问题 都可归结为对非线性偏微分方程的研究。由于很多微分方程很难求出其精 确解，尤其对非线性偏微分方程能求得精确解的方程更是为数不多，因此 研究微分方程的近似解具有重要的理论意义，而解的存在唯一性又是近似 计算的前提。　 本文的主要内容：其一，综述了与本文相关的非线性偏微分方程（组） 的发展和研究现状；其二，以 Sobolev 空间为工具，利用 Galerkin 法分别研 究了具有弱阻尼和结构阻尼的非线性梁方程定解问题的适定性。 1．证明了具有弱阻尼的非线性梁方程 在边界条件  l 0  （1） u(0,t )?? u(l, t)?? u ( 2) (0,t )?? u (2 ) (l ,t )?? 0, 及初始条件 t?∈ [0,?∞) （2） u(x,0)?? u0 ( x), ut (x,0)?? u1 (x), x?∈ (0, l) （3） 下弱解、强解的存在性和唯一性。 2．证明了如下具有结构阻尼的非线性梁方程 u?? u ( 4)????u ( 2)???? u  q? 2  l 2 l 0 0  （4） 在边界条件 u(0,t )?? u ( 2 ) (0, t)?? u (1) (l, t)?? 0,u ( 3) (l ,t)?? g(u(l, t)), t?∈ [0,?∞) 及初始条件 （5） u(x,0)?? u 0 ( x), u t ( x,0)?? u1 ( x), x?∈ (0, l) （6） 下弱解的存在唯一性。其中??,??? 0, q?? 2 皆为实数， u (i )?? ? iu ?x i  (i?? 1,2,3,4) u?? ?u ?t  , u?? ? 2u ?t 2  ,?? (t)?∈ L1 (0, T )，函数 M (?? ), N (?? ) 皆为定义在[0,?∞) 上的非负的连续可 Ｉ　 太原理工大学硕士研究生学位论文　 微函数。 3．在初始条件（2）以及边界条件（3）的情况下，证明了下述非线性 梁方程 u?? u ( 4)???? u ( 2)???? u (1)?? f (u) 的解在有限时间爆破。其中 f (u ) 为 u 的非线性函数。 关键字：非线性偏微分方程，Sobolev 空间，弱解，强解，Galerkin法 ＩＩ　 太原理工大学硕士研究生学位论文　 STUDY ON POSEDNESS OF SOLUTIONS TO THE NONLINEAR BEAM EQUATIONS WITH DIFFERENT DAMPING ABSTRACT Partial differential equations are divided into linear partial differential equations and nonlinear partial differential equations. Many problems in the field of science and engineering can be attributed to study of the nonlinear partial differential equations. It is difficult to acquire exact solutions for most differential equations, especially for nonlinear partial differential equations. Thus, study of approximate solutions to the differential equations has important theory significance. The research on the existence and uniqueness of solutions of differential equations is a foundation for approximate calculation .　　 Our main work includes that summarize and comment the development and actuality on partial differential equation or equ