高中数学新人教A版选修 第3章3.3.2函数的极值与导数 课件.pptVIP

3．3.2　函数的极值与导数 学习目标 1.结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件． 2.会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数的极大值、极小值． 课堂互动讲练 知能优化训练 3.3.2　 课前自主学案 课前自主学案 温故夯基 1．如果函数y＝f(x)在某个区间内单调递增或单调递减，函数的导数f′(x)不一定就恒正或恒负. 2．函数y＝x3－x＋6的单调递增区间是 ________________________. 知新益能 1．极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧_________，右侧________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． f′(x)0 f′(x)0 2．极大值点与极大值 如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧________，右侧________，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．_________、_________统称为极值点，_______和_______统称为极值． f′(x)0 f′(x)0 极大值点 极小值点 极大值 极小值 问题探究 1．函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是惟一的吗？ 提示：不一定；不一定惟一． 2．导数为0的点都是极值点吗？ 提示：不一定．y＝f(x)在x＝x0及附近有定义，且f′(x0)＝0，y＝f(x)是否在x＝x0处取得极值，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否异号．例如f(x)＝x3，由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点． 课堂互动讲练 求已知函数的极值 考点突破 求函数极值的步骤： (1)求f′(x)＝0在函数定义域内的所有根； (2)用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干小区间，列表； (3)由f′(x)在各个小区间内的符号，判断函数的极值情况． 例1 【思路点拨】　从方程f′(x)＝0入手，在函数的定义域内求出此方程所有的根，判断函数在这些点处是否存在极值，进而问题获解． 【解】　(1)f′(x)＝3x2－6x－9. 解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 10 单调递减 －22 单调递增 因此，当x＝－1时函数取得极大值，且极大值为f(－1)＝10；当x＝3时函数取得极小值，且极小值为f(3)＝－22. 变式训练　求函数f(x)＝x3－12x的极值． 解：函数f(x)的定义域为R. f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2. 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化状态如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值 f(－2) 极小值 f(2) 所以当x＝－2时，函数有极大值， 且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当x＝2时，函数有极小值， 且f(2)＝23－12×2＝－16. 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时，注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． 已知极值求参数 例2 极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键． 函数极值的综合应用 例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围． 【思路点拨】　(1)利用导数求单调区间和极值. (2)由(1)的结论，问题转化为y＝f(x)和y＝a的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解. 【名师点评】　用求导的方法确定方程根的个数,是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数． 1．极值的概念理解 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点： (1)极