高中数学新人教A版选修 第3章3.3.3函数的最大(小)值与导数 课件.pptVIP

3．3.3　函数的最大(小)值与导数 学习目标 1．能够区分极值与最值两个不同的概念． 2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 课堂互动讲练 知能优化训练 3.3.3　 课前自主学案 课前自主学案 温故夯基 求函数f(x)的极值 首先解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧_________，右侧__________,那么f(x0)是函数的_______； (2)如果在x0附近的左侧_________，右侧__________,那么f(x0)是函数的_______． f′(x0)＞0 f′(x0)＜0 极大值 f′(x0)＜0 f′(x0)＞0 极小值 知新益能 函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得_________和_________，并且函数的最值必在________或______处取得． 最大值 最小值 极值点 端点 问题探究 在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？ 提示：一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值． 课堂互动讲练 求已知函数的最值 考点突破 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 例1 求下列各函数的最值． (1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2,2]； (2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]． 【思路点拨】　利用导数确定极值点，比较极值与端点值，确定最值． 互动探究1　若把本例(1)中条件改为[－2，＋∞),求函数的最值． 已知函数的最大值或最小值，也可利用导数，采用待定系数法，列出字母系数的方程或方程组，解出字母系数，从而求出函数的解析式，进而可以研究函数的其他性质． 已知函数的最值求参数 例2 若f(x)＝ax3－6ax2＋b(a0)，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a、b的值． 【思路点拨】　可先对f(x)求导，确定f(x)在[－1,2]上的单调性及最值，再建立方程从而求得a，b的值． 【解】　f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4，∵x∈[－1,2]，∴x＝0. ∵a0，∴f(x)，f′(x)随x变化情况如下表： x (－1,0) 0 (0,2) f′(x) ＋ 0 － f(x)  最大值3  ∴当x＝0时，f(x)取最大值，∴b＝3. 又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3， f(－1)＝－7a＋3f(2)， ∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29， ∴a＝2， ∴a＝2，b＝3. 不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常见的题型，这种题型的解法有多种，其中最常用的方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数求解． 与最值有关的恒成立问题 例3 【思路点拨】　把mf(x)恒成立，转化为求f(x)在[－1,2]上的最大值，只要m大于此最大值即可. 【名师点评】　有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时要确定这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数． 一般地，λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min. 互动探究2　本例中，把“f(x)m”改为“f(x)≥m”, 求实数m的取值范围． 1．函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值. 2．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个； 方法感悟 极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.