高中数学北师大版选修 1.3《反证法》 课件.pptVIP

数学：１．３《反证法》课件PPT（北师大版选修2-2） 一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。” 你能对小华的判断说出理由吗？ 　　假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。 小华的理由： 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。 　　　例：甲命题“在△ABC中，如果AB＝c， BC＝a， CA＝b，且∠C＝90°，那么a２＋b２＝c２”是真命题．（勾股定理） 　　　乙命题“在△ABC中，如果AB＝c， BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°，那么a２＋b２≠c２”是真命题吗？ 　　　假设a２＋b２＝c２，根据勾股定理的逆定理，一定有∠C＝90°，这与已知条∠C≠90°矛盾，因此，假设a２＋b２＝c２是错误的，于是可知a２＋b２≠c２．这就说明：命题“在△ABC中，如果AB＝c， BC＝a， CA＝b，且∠C≠90°，那么a２＋b２≠c２”是真命题． 　先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确． 　这种证明方法叫做“反证法”． 二、反证法的步骤 ???? (1) 从命题的结论的否定面出发； ??? (2) 根据正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾；与已知定义、公理、定理等矛盾；出现与临时假设矛盾；在证明过程中出现自相矛盾等等）则否定假设； ??? (3)肯定原命题的结论是正确的。简记：否定结论――推出矛盾――肯定结论，其中推出矛盾是关键。 万事开头难，让我们走好第一步！ 写出下列各结论的反面： （1）a//b； （2）a≥0； （3）b是正数； （4）a⊥b a0 b是0或负数 a不垂直于b a∥b 感受反证法: １.求证： 在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 这与已知条件AB≠AC相矛盾，假设错误。 求证：∠B ≠ ∠C 尝试解决问题 已知：在△ABC中，AB≠AC。 证明：假设∠B = ∠C。 所以AB=AC（等角对等边） 所以∠B ≠ ∠C。 ２.在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗？请证明你的猜想． 谁来试一试！ 3.已知：如图△ABC中，D、E两 点分别在AB和AC上 求证：CD、BE不能互相平分 （平行四边形对边平行） 做一做 学习是件很愉快的事 证明：假设CD、BE互相平分 连结DE，故四边形BCED是平行四边形 ∴BD∥CE 这与BD、CE交于点A矛盾 假设错误， ∴CD、BE不能互相平分 例2： 求证： 在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°． 已知： △ABC． 求证： △ABC中至少有一个内角小于或等于60°． 证明：　假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°， ∠B＞60°， ∠C＞60°． 。 于是∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180°， 与三角形的内角和等于180°矛盾． 所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°． 例3、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角． 分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论. 已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B、∠C为锐角. 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况： (1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角； 1)由∠A=∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°180°， 这与三角形内角和定理矛盾， ∴∠A=∠B=90°这个假设不成立. (2)由90°＜∠B＜180°， 90°＜∠C＜180°， 则 ∠A+∠B+∠C180°，这与三角形内角和定理矛盾 .∴两个底角都是钝角这个假设也不成立． 故原命题正确? ∴等腰三角形的底角必定是锐角. 说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解. 大家议一议！ 通过本节内容的学习，你们觉得哪些题型宜用反证法 ？ 我来告诉你（经验之谈） （1）以否定性判断作为结论的命题； （2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （3）关于“唯一性”结论的命题； （4）一些不等量命题的证明； （5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等等.(如平行线的传递性的证明） 注意:用反证法证题时,应注意的事项 : ??（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使