高中数学北师大版选修 3.1《函数的单调性与极值》 课件.pptVIP

数学：３．１《函数的单调性与极值》课件PPT（北师大版选修2-2） 函数的单调性与极值 一、函数的单调性 二、函数的极值 三、函数的最值 一、函数的单调性 从几何图形上来分析 a b x y o 都是锐角，即斜率 是上升的 。 如果曲线 在 内所有切线的倾斜角 时，那么曲线在 可见，函数的单调性可以用导数的符号来判定。 a b o y x 同样，当 时，曲线在 内是下降。 我们有如下定理： 定理1 设函数 在 上连续，在区间 内可导， （1）如果在 内 ，则 在 上单调增加； 上单调减少。 （2）如果在 内 ，则 在 注意： （1）将定理中的闭区间 换成其他各种区 间定理的结论仍成立。 单调增加的充分条件，而不是必要条件。 （2）在 内， 只是 在 上 考察函数 ，但等号只在个别处成立， （3）如果在区间 内 （或 ） 仍是单调增加（或单调减少）的。 则函数 在 上 考察函数 例1 判定函数 的单调性。 解 的定义域是 。 在区间 和 都有 ，只有当 时， ，所以 在 内单调减少。 例2 求函数 的单调区间。 解 的定义域是 令 ，得 ， 它们将定义域 当 时， 当 时， 。 所以 的单调增加区间是 和 ；单 调递减区间是 例3 确定函数 的单调区间。 解 的定义域是 分成三个区间 令 ，得 ，又 处导数不存在， ， 这两点将 分成三个区间， 列表分析 在各个区间的符号： 由表可知， 的单调增加区间为 和 ，单调减少区间为 。 二、函数的极值 设函数 在点 的某邻域内有定义， 1 定义 （1）如果对该领域内的任意点 ，都有 ，则称 是 的极大值，称 是 的极大值点。 （2） 如果对该领域内的任意点 ，都有 ，则称 是 的极小值，称 是 的极小值点。 函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点和 极小致点统称为极值点。 注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。 o x y 2 极值存在的必要条件和充分条件 定理2（极值的必要条件） 如果函数 在点 处可导，且在点 取得极值，则 。 定理2指出：可导函数的极值点必定是驻点。 使 的点 称为函数 得驻点。 反过来，驻点不一定是极值点。 考察函数 另一方面，函数不可导的点也可能是极值点。 考察函数 定理3（极值的第一充分条件） 设函数 在点 连续，且在点 的某一空心邻域 内可导。 （1）如果在 内 ，在 内 ，则函数 在点 处取极大值 ； （2） 如果在 内 ，在 内 ，则函数 在点 处取极小值 ； （3）如果