运用导数拓展函数知识的应用.docVIP

运用导数拓展函数知识的应用 (内部资料） 在高中数学中,运用导数这一强大工具来研究函数的性质,是新大纲、新教材的一大特点，与传统教材相比，不仅极大地降低了教材难度，而且是高一函数知识的拓展，从而使函数知识具有更广泛的应用前景。本文拟就此问题做初步的探讨。 一、运用导数研究函数单调性 定理：设函数f (x)在[a, b]上连续，在（a, b）内可导，且0 (或(x)0),则在[a, b]上递增(或递减)。 注：在区间上恒正或者恒负仅是在此区间上严格单调的充分条件，而不是必要条件。其实在区间上严格单调性并不排斥在区间内某些孤立点处有=0。 例1：求函数的单调区间 解： 令0 得 x1或x3; 令，得 故的单调增区间是，单调减区间是（1，3） 例2：讨论函数,()的单调性。 解： 令，由于cosx+10，所以2cosx-10 又，从而 同理，令，得 故在上是单调增函数，在上是减函数。 例3：要使是R上的递增函数，其系数应满足什么条件？ 解： 由题意知：对一切，有 即 的解集为R 　　　若，则： 　　　当、时，在R上恒成立 当时，在R上不恒成立 ∴此时，在R上递增的条件是：且 若 则由的解集为R 得：,且Δ=， ∴此时，在R上递增的条件是：且， 综上所述：且或且，为所求。 例4：在 为R上的增函数 解： 要使是R上的增函数，只须对一切， 都有： 若即时，在R上不恒成立 即时 则 又 所以 为所求。 例5：已知可导函数的定义域为，且对任意,满足。 1）问：能否同为偶函数？ 2）若试求定义域D的最大范围； 3）若，试判断g(x)的单调性，并加以推广且给出证明。 解：1）不能同为偶函数。 若同为偶函数，则同为奇函数且区间关于原点对称，又在区间可导， 所以 从而， 即：，这与题设矛盾 故 不能同为偶函数。 2） 由题设得： 所以 x0 故定义域D的最大范围为 3）当时，是增函数，此时，是增函数。 　　　 当时，是减函数，此时，是减函数。 　　　 一股地，若是增函数（或减函数）则是增函数（或减函数）。 　　证：若是增函数，则 　　　　由得 　　　　从而　 　　　　∴是增函数。 　　　　同理可证是减函数的情形。 二、运用导数求函数的值域（最值） 应用“在闭区间[a,b]上的连续函数必有最大值和最小值”及函数的单调性，可以解决求函数的值域、最值及相关问题；灵活运用以下结论，往往可使这类问题的解答更方便。 结论：若可导函数在开区间（a, b）有且只有一个极值点，而实际问题中又有最大（小）值，则必在该点处取得最大（小）值。 例1：函数的值域。 解： 时，，即上是增函数 而 所以的值域是[，+∞） 例2： 已知函数，求y的最小值。 解1： 解2：令 则 例3：已知 例4：已知,求的取值范围. 解：由得 且 令得 又 ∴ 例5：求函数的最值。 解：由题意得： 令得： 令得： ∴函数在时取得极大值； 又时，，时， 故： 三、运用导数研究方程的根的分布 把方程=0的根看作是函数的图象与x轴的交点，从而可根据函数的图象（性质）来研究方程的根的分布。 例1：判别方程lgx＋x＝3的解的情况；若此方程所在的区间为，求使 的的值。 解： 则 ∴ 从而，方程上有且只有一个实数解； 又 ∴ 例2：关于x的方程有2实根，则实数a的取值范围是__________ 解：令 ∴在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数 从而易得在 例3：直线y=a与函数的图象有三个相异交点，求a的取值范围。 解：依题意，方程有三个相异实根 令 则： 由得：x=-1或x=1 当x-1时，；当-1x1时，；当x1时， ∴在x=-1处有极大值 在x=1处有极小值 又 ∴ 例4：设a0，a≠1，试求方程log(x－ak)＝log(x－a)有实数解的k的范围。(89年全国高考) 解： 将原方程化为：log(x－ak)＝log 等价于 （a0,a≠1） ∴ 令 ∴ 综上所述， 四、运用导数证明不等式 把不等式的证明，转化成证明函数在某个区间上恒正或恒负。即要证，只须证明在D上恒成立。 例1