关于循环群的一些性质及结构定理.pdfVIP

中国 ·包头 职大学报 2008年第4期 关 于 循 环 群 的 一 些 性 质 及 结 构 定 理 原玉杰 ( 阜新高等专科学校。辽宁阜 新 123000) 摘要：讨论n阶循环群及无限循环群的一些性质．给出其同构与 自同构的结构定理 关键词：循环群；循环子群；生成元；同构；自同构 中图分类号：0 152 文献标识码 ：A 文章编号：167l —1440( 2008) 04—0064—02 0．引言 都是G中的厄素 。因此必存在正整数s t ，使 李晓毅、黄风琴先生讨论r 剩余类加群概念及运 算性 a k Ⅱ’或 Ⅱ”，-P 质⋯。本文进一步讨论n 阶循环群及无循环群 的一些性质 。 故n 的阶必有限，设口的阶为m，则 给出其自问构及 『司构 的结构定理 ，并埘李黄先牛的结论l 进 no 。6 以口2 ，⋯ ，a “一’ ． r ，J 行证 明。 是G中m个 互不同的元素( 因若 ，，l l t ≥0，使 口k 口 ‘， 1．定义及引理 则U⋯= 与n的阶为m不合) 。另外．设6=a ·为C中任 定义 ，．称群G中元素n 的阶是n ．即r ／是使n “=e 一元素，令 的最 小正整数 ，若这样 的一个n 不存在，称 Ⅱ是尤限阶 的。， ％：，W+r ，D≤r m 引理，．若群G中，亡素 Ⅱ的阶是n ，且 口”=e 则nI m。 则 nk amq a ，- a 证 明：用n去除m，设 即( ，) 为G中所有互不同的元素。f H．假设G是含 ，1个元 m=州+ ，．0 Sr n 素 的循环群 ．故只有m=凡。即生成元n 的阶是n。 于是由Ⅱm=e可得 反之 ，若n 的阶是n，则 由上面 的证明知 ，a o=e 儡2⋯ a7=a ”。州=n “r ( I ”J 一口=P a ”’是c 的全部互不相 同的元素，即c ：( 口) 为含，1个元素 故只有r =D．于是nI m。 的循环 群， 引理2 ．若群c 中元素n 的阶是凡。则 Ⅱ7 的阶是三，其 2 ．循环群的性质 中d=f r ，n ， 。 定理，．设G=( Ⅱ) 是由Ⅱ生成的n阶循环群，则Ⅱm也 证 明：首先。由于n 的阶是n ，nk 故 生成G， 当且 仅， ，l 当n与 互素 。 ( ∥)k (矿 户=一 证明由于G=( 口) 是n阶循环群，由引理3。n 的阶是 其次，若有正整数历使r n 7J ”= ，则n⋯；e ，于是由引理 几于是Ⅱ “也是的生成元当且仅当的阶也是n 。但 由引理2 ，知nI 珊，但是 ，因为d=f ，’乃J ，町设 知，n “的阶为考j ，于是