时间分数阶亚扩散方程的高阶差分方法.pdfVIP

第30卷第4期 计 算 物 理 V01．30，No．4 2013年7月 CHINESEJOURNALOFCOMPUTATIONALPHYSICS July，2013 文章编号：1001．246X(2013)04-0491．10 时间分数阶亚扩散方程的高阶差分方法 曾凡海， 李常品4 (上海大学理学院数学系，上海200444) 摘要：提出两差分格式求解时间分数阶亚扩散方程．两个格式都是绝对稳定的，收敛阶均为0(r4+h2)，其中q (g=2一卢或2)与方程解的光滑性有关，卢(0卢1)是分数阶导数的阶、r和h分别是时间和空间方向步长．数值 实验验证了理论结果的正确性，并与其他方法进行比较，显示了本文方法的有效性和精确性． 关键词：亚扩散方程；分数阶线性多步法；高阶方法；稳定性；收敛性 中图分类号：0241．82 文献标识码：A O 引言 分数阶微积分(包括分数阶积分和导数)正成为一个热门，现已发现它在科学和工程的各个领域都有着 较为广泛的应用，如物理，材料，控制和生物等¨。1．在物理领域，分数阶导数常用来模拟异常流(包括亚扩散 和超扩散，亚扩散又称为次扩散)，其粒子扩散不同于经典的布朗运动． Green函数方法等¨1．对于大多数分数阶微分方程而言，这些解析方法显得无能为力．因此，发展数值方法显 得尤为必要和实用．和整数阶微分方程求解方法类似，分数阶微分方程的求解方法也有差分方法Mql，有限 元方法…和谱方法…1等．差分方法仍然是求解分数阶微分方程的主要工具，而在高阶稳定的方法方面却存 在一些空白．本文的目的是构造高阶精度的方法(收敛阶大于1，甚至可以达到2阶)求解时间分数阶亚扩散 方程． 考虑如下形式的时间分数阶亚扩散方程心，111 (z，f)∈，×(0，T)，T0，0卢1， rcD：，。(戈，￡)=902,u+以戈，￡)， {u(算，0)=咖。(石)， z∈， (1) 【u(口，f)：u(6，f)：0， (戈，￡)∈a，×(o，r)， 其中p0，，=(口，6)，a：=三，z=1，2，…，。D：．。是卢阶Caputo分数阶导数算子，其定义 cD：，。u(x，￡)=Oo，：1—4’[at“(戈，t)]2 (2) iiii；J：(￡一s)一90,u(石，s)ds， 其中Di?是分数阶积分(或者Riemann—Liouville积分)算子，其定义为 Dz八￡)=n。Dz八￡)2高J：(￡一s)p狄s)以 ，(3) 义为 n。D珈(刈)=d。[DzH(川)]2志瓤(f叫p1巾∽以 目前，已经有一些方法数值模拟形如式(1)亚扩散方程．时间分数阶导数常用的离散格式是L1方法，具 收稿日期：2012—11—12；修回日期：2013—0l一26 基金项目：上海市教委科研创新重点项目(12ZZ084)资助 作者简介：曾凡海(1982一)，男，博士生．研究方向：分数阶微分方程数值计算，E-mail：fanhaiz@shu．edu．cn +通讯作者：李常品(1968一)，男，博士，教授．研究方向为分数阶微分方程数值计算、分数阶动力学，E-mail：lcp@shu．edu．ca 万方数据 计 算 物 理 第30卷 有(2一厣)阶收敛率，空间方向常用中心差分或者紧致差分格式离散，可参考文[6，11]． 本文使用两种方法离散时间分数阶导数，空间方向使用标准的中心差分方法离散，从而构造出两个差分 格式，时间方向至少具有(2一鳓阶精度．本文给出严格的理论证明，理论分析表明，本文提出的两个差分格 式都是无条件稳定的，空间方向具有2阶精度，时间方向收敛阶为q．q依赖于解的光滑性．如果