非线性振子的矩阵元及其经典近似.pdfVIP

第3l卷第5期 大学物理 V01．3lNo．5 2012年5月 COLLEGEPHYSICS Mav2012 非线性振子的矩阵元及其经典近似 李凤敏 (_天津职业技术师范大学理学院，天津市300222) 由量子力学的矩阵元得到了非线性振子的经典解。从而对于非线性振子的性质有了进一步的理解． 关键词：量子力学；非线性振子；对应原理 中图分类号：O413．1 文献标识码：A 文章编号：1000—0712(2012)05—00ll一03 自从量子理论产生之日起，量子力学与经典力 非线性振子，经典情况下还没有找到精确的解析解， 学的关系就一直是人们关心的热点问题之一．最为 而另一方面也不能用微扰论处理．这里选择的非线 流行，也最为大家所熟知和接受的对应原理恐怕是 玻尔对应原理．该对应原理指出，当量子数很大时， 二 量子体系的行为过渡到经典体系的情况．另一个对 动方程为d2戈／d￡2+脚2戈=一4肌3／m．如果用微扰的方 应原理，海森伯对应原理近来也引起了人们的极大 式进行求解。首先要假设参数A=O，得到零级近似 兴趣…．海森伯对应原理明确指出。在大量子数极限 解‰=Acos∞f．将零级近似解代入到经典运动方程 下，量子力学的矩阵元是经典物理量的傅里叶展开 的右边，得到 J， 系数．换句话说，物理量可能矩阵元之和给出经典运 d2并／df2+珊2算=一!!!∑(3cos。瞳t+cos3埘f) (1) m 动方程的解，即如果定义一个量： 这是一个受迫谐振子，由于右边有一项cos∞￡，其频 +- F。(f)=：I砂?(髫，￡)砷。(并，1)以率与谐振子的本征振动频率相同，进而会发生共振． 下上 因此不能用微扰进行处理．但是应用海森伯对应原 那么该量在经典近似下应当给出经典解．式中 理，却可以从量子力学的矩阵元得到经典方程的解． F是物理量所对应的厄米算符．单从数学上讲。“双 在下节中首先给出非线性振子的波函数，在第3节 波理论”也有类似的结论旧1．但在“双波理论”中，是 中讨论海森伯对应原理，最后是有关结论． 取，。(f)实部，不过并没有给出相应的理由．也许正 是因为只取了实部，才造成该理论认为在量子数有 1非线性谐振子的波函数 限时，就可以描述一个单粒子的运动，这样的说法以 非线性谐振子难以精确求解，因而人们采取了 及新定义的波函数等概念引起了人们的异议¨1．海 各种方式进行研究，例如微扰论、平均值方法’4刮等， 森伯对应原理并不要求对所定义的量，。(t)取实部． 也可以应用变分法进行求解…，这里采用的就是变 在下面的运算中我们将看到。对于束缚态。当量子数 分法．非线性振子的哈密顿量为 有限时，量，。(t)是复数，因而不能用该量描述轨道 ．．2 ● 日=兰+÷m叫2髫2+A盘4 (2) 或者一个粒子的运动．但有一个对非相