麦克斯韦方程的非 $H^1$ 空间解的三个稳定化连续有限元方法的比较.docVIP

麦克斯韦方程的非 H1 空间解的三个稳定化 连续有限元方法的比较 段火元 ，李莎 南开大学数学科学学院，天津　 300071 摘要：本文研究了求解麦克斯韦方程的非 H 1 空间解的三个稳定化连续有限元方法，分析了稳 定性和误差估计。通过对二维 L 型区域上的麦克斯韦方程的源问题和特征值问题的数值实验， 证实了三个方法都适合用来逼近非 H 1 空间解，而且方法之间的数值结果也做了详细对比。 关键词：计算数学，稳定化连续有限元方法，麦克斯韦方程，非 H 1 空间解，源问题，特征值 问题，误差估计，数值实验 中图分类号： 0242.21,0241,0241.1,0241.81 Comparisons of three stabilized continuous ?nite element methods for solving non H1 space solution of Maxwell equations DUAN Huo-Yuan , LI Sha School of Mathematical Sciences, Nankai University, Tianjin 300071, China Abstract: In this paper, three stabilized continuous ?nite element method are reviewed for numerically solving the non H 1 space solution of Maxwell equations. Coercivity and error estimates are established for a stabilized method. Numerical experiments for source problem and eigenvalue problem of Maxwell equations are performed to illustrate these methods, and comparisons are also made between them. Key words: Computational Mathematics, stabilized continuous ?nite element method, Maxwell equations, non H 1 space solution, source problem, eigenvalue problem, error estimates，numerical experiment 基金项目： 高等学校博士学科点专项科研基金资助课题 (20100031110002，20120031110026) 作者简介： 通信作者：段火元（1969-），男，教授，博导，主要研究方向：有限元方法。李莎（1986-），女，硕士，主要研究 方向：有限元方法。本文包含第二作者 2013 年硕士毕业论文的部分内容。 -1- 0 引言 麦克斯韦方程组是研究电磁现象一组非常重要的基本的数学模型。其数值方法一直是计 算电磁学领域极为活跃的研究课题。在大多数数值方法中，麦克斯韦方程组通常被转化为 curl-curl 或者 curl 麦克斯韦方程求解, 约束方程由 div 给出。在二十世纪末，在非凸区域上且 凹角处解奇异的麦克斯韦方程的连续有限元方法得到了研究工作者的广泛关注。当区域非凸 时，无论右端项多么光滑，此时的解都可能属于非 H 1 空间，而仅属于 H r, r 1，可以参见 [5, 8, 13]。其中一个重大的挑战性问题是，这类具有低正则性的非 H 1 空间奇异解问题用标准 的拉格朗日连续元 Galerkin 方法不能得到正确的解（事实上，其有限元解收敛于一个错误的 解，参见 [22, 1, 34]。然而，一个重要事实是，经典的有限元插值理论表明 ([15, 16, 23, 18])， 连续元是可以逼近任何的 L2 可积函数，自然也不例外，可以逼近非 H 1 空间的 H r 空间解， r 1。由于连续元简单实用，软件算法发展时间长，而且在偏微分方程的数值方法领域一直 占据着中心地位，人们还是希望使用连续元去逼近这类非 H 1 空间真解。因此，探索新的连续 有限元方法来解决此类问题成为必然，也是可行的。这样一个新的课题因此具有十分重要的科 学与应用价值。为了使得连续有限元方法可以正确逼近非 H 1 空间解，必须修改标准的变分形 式。而且，我们希望新的变分形式尽量简单，并满足强制性条件及具有最优误差逼近阶。不幸 地是，直到二十世纪末，连续有限元方法对于非 H 1 空间解从来都没有真正意义上成功过。第 一个理论分析与数值实验都证实有效的连续有限元方法是