二阶非线性微分方程封闭统一显式解.docVIP

  二阶非线性微分方程封闭统一显式解 于力1，李峰2，李春林3* （1. 沈阳工程学院．电力学院．； 5 10 15 20 25 30 35 40 2. 东北电力科学研究院有限公司； 3. 退休） 摘要：二阶微分方程，包括非线性微分方程，存在封闭统一显式解．封闭统一显式解指出， 非线性微分方程必须在复变函数域中求解；方程解必须在复频域空间运行．用复函数实部与 虚部分离，实时间与虚时间分别处理，和循环迭代方法编写计算程序，供读者检验． 关键词：非线性；微分方程显式解；循环迭代；复频域; 中图分类号：0175 the nonlinear differential equation of the closed explict solution. YU Li1, LI Feng2, LI Chunlin3 (1. Shenyang Institute of Engineering; 2. Northeast Electric Power Research Institute Ltd; 3. Home) Abstract: second-order differentialequation,incloding nonlinear differential equation,explicit solution exist closed unity.Closed unified explicit solution pointed nonlinear differential equation must be solved in complex variable domain;equations in the complex frequency domain space must be run.The real and imaginary parts of a complex function from use,real time and imaginary time dealt with separately,and loop iteration method,computer program written for readers to test. Key words: nonlinear;unified solution;Loop iteration;Compliex frequency domain; 0 引言 当前关于非线性微分方程，依然如同＜动力系统导论＞［美］序言中所断言：＂到 19 世纪末，人们认识到很多非线性微分方程根本没有显式解＂，和专著＜非线性系统手册＞ ［美］第 11 章引言中所说：＂几乎所有的非线性方程都不能在封闭形式里求解＂，依然停 留在各种近似解方法和数值解方法．这些方法共同点是不能检验所求结果使方程恒等式成 立．理论层面不能检验正确性，令人非常遗憾． 现在给出二阶微分方程包括非线性微分方程封闭统一显式解．并给出求解显式解的 MATLAB 语言程序．在理论层面可以检验其正确性．这应该是值得共享的好事． 非线性动力学依赖于非线性微分方程的解来描述．诸如单摆方程，Duffing 方程，Mathieu 方程 van der Pol 方程，Rayleigh 方程，Lienord 方程，Duffing-Van der Pol 方程，Duffing-Mathieu 方程等等，包括各种组合都可用封闭统一显式解求的非线性解微分方程．三阶非线性微分方 程封闭统一显式解公式太长，只举 Lorenz 方程一例． 封闭统一显式解是动力学两个复频域基本定律．二阶微分方程结构函数 Kp^2=Wp^2+Ws^2 关系就像复频域＂勾股定理＂一样，确立了动力系统守恒关系．复变统 一显式解表为封闭系统与外部干扰定量关系的封闭系统开放定律． 作者简介：于力．1976．女．讲师．非线性微分方程. yulixxx@126.com -1-   1 二阶微分方程封闭统一显式解 二阶微分方程包括非线性微分方程，规范化表成如下标准框架结构函数表达式：  45 +2＊Kp(t,x, )* +Wp(t,x, )^2*x=H ； 符号简化改写成类似常微分方程形式的二阶类微分方程标准表达式： +2*Kp* +Wp^2*x=H． 其中：Kp 称为速度(阻尼)控制函数； Wp 称为位移(固有频谱)控制函数； （１）  50 55 60 65 70 Ws=sqrt(Kp^2-Wp^2)．方程解流形频谱 Ws； H 称为外界干扰函数．不含方程待解变量； 令x(0)=N0, (0)=N1,BL=exp(-Kp*t)； 双曲函数：SH=sinh(Ws*t)，CH=cosh(Ws*t)． 符号 x0 表位移解, x1 表速度解, x2 表加速解． 微分方程