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由光线得来的教学灵感…… ——《正比例的意义》案例与解读 浙江省杭州市学军小学 袁晓萍 【设计意图】 在《新课程标准》第二学段中，对于六年级的传统教学内容“正、反比例的意义”内容目标进行了这样的阐述： （1）在实际情境中理解什么是按比例分配，并能解决简单的问题。 （2）通过具体问题认识成正比例、反比例的量。 （3）能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值。 （4）能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，并进行交流。 对比、字母表达式，会正确判断两个量是不是成正比例关系的两个量。 2、3、感受数学和生活的联系，渗透 [解读] “在同一时间，同一地点，竿高与影长的比值一定”这是学生在科学课中就已经知道的内容。再通过“画影长”让学生感受“立竿见影”的生活现象中包含的科学原理，让学生感受到“光线”，感受到“光线的斜度”，同时建立正比例函数图像的原型。 （2）提问：根据我们的生活经验和学习经验，你能解释为什么比值不变吗？ 生：因为在同一时间、同一地点，太阳光线的斜度是不变的，所有光线与旗杆、竹竿的所夹的角度也是不变的。 师：[课件演示]照同学们的解释，如果我们用简单的线段表示物体高度，把它们移到一块儿，把竹竿影长与旗杆影长用横轴来表示；用纵轴来表示物体实际的高度…… （3）解读图像 提问：这张图同学们还能读懂吗？图中的点表示什么？ 根据学生的表述，整理成表格： 实际高度（m） 2 12 18 22 …… 影子长度（m） 1 6 9 11 …… 根据学生叙述，强调：这条斜线表示了同一时间物体实际高度与影长之间的关系。 [解读] 新课程标准中将“能具备用适当的语言或图画研究心得的能力”作为学生研究正比例关系的重要能力。在上面的环节中教师利用将“光线”、将“光线的斜度”逐步抽象成图像，再通过学生对于图像中二维坐标点的意义描述，体会图像中函数原理，让学生初步感悟到数理关系与图像特征的有机整合。 二、自主探索，归纳概念。 1、师：一个简单的“立竿见影”的生活现象里面包含的数学规律还真不少。在我们日常生活中，还有这样相似的现象？包含着相似的数学规律吗？ 同学们能不能也借用刚才的表达方式，将这些生活现象记录下来，并把其中包含的数学规律用各种方式表达出来呢？ [投影出示学习建议] 寻找生活中具有相似规律的生活现象。 用数学的方式记录表达其中的数学规律。 交流比较：归纳相似规律。 2、学生自主探索，教师个别指导。 [解读] 学生在对“立竿见影”现象的研究中，对于正比例关系所具备的特征已经有了模糊的数学感受，带着这种模糊的感受走进生活，用数学的眼光关注生活的现象和规律，学生的数学认识会随之逐渐清晰、固定起来。 3、交流发布。 师：找到生活中具有相似规律的现象了吗？ 生1：拿我们的数学书作为标准，我发现书的本数与书的厚度中具有与刚才相似的规律。 书的本数与书的厚度数据记录 书的本数 1 2 3 4 5 书的厚度(cm) 7 14 21 28 35 在这里，每本书的厚度是不变的。 生2：由这个同学的例子，我还能从数学书相关的量中找出这样相似的现象，比如： 书的本数与书的重量数据记录 书的本数 1 2 3 4 5 书的重量(g) 200 书的本数与书的价格数据记录 书的本数 1 2 3 4 5 书的价格(元) 11.1 书的本数与书的张数数据记录 书的本数 1 2 3 4 5 书的页数 74 [学生们频频点头] 师：我们的同学对于这本书的研究相当深刻与广泛。在这些相似的现象中，我们也能找到不变的数量吗？ 生：每本书的重量不变，每本书的单价不变，每本书的页数不变…… 生3：我想到了肯德基的套餐，如果买一份套餐要21.50元，两份套餐要43元，三份套餐要64.50元……随着套餐份数的增多，套餐的总价也在扩大。因为每一份套餐的单价是不变的。 生4：我想到了水池里的水的放水问题。 一分钟后 两分钟后 三分钟后 生5：我知道，在这里，每分钟放水的数量是一定的。不过这个现象如果用图来表示的话，应该是这样的。（学生随即上台将上面的图像用中间点连接） [解读] 在广泛的记录、表达、交流、辨析中，学生们用图像、算式（比值一定）、数学语言表达着自己对于生活现象的认知，在群体交流中，学生个体的学生的数学认知，也随着素材的增多逐渐清晰，完善起来。 生6：我觉得人的身高与年龄这两组量也具有这样的规律，我还画了一幅图来解释我的观点！ [大多数学生表示否定] 生7：如果人的身高与年龄具有这样的规律，那到了100岁时，我们的身高就太可怕了！ 生8：我认为如果把人换成在温室中，条件控制严格的实验作物，在一定时间内，它的成长也具有这样的规律，这幅图还有利用