福建省长泰一中高考数学一轮复习《平面与平面平行》学案.docVIP

福建省长泰一中高考数学一轮复习《平面与平面平行》学案 例1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点． (1) 求证：平面AMN∥平面EFDB； (2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值． 解：(1) 易证EF∥B1D1 MN∥B1D1 ∴EF∥MN AN∥BE 又MN∩AN＝N EF∩BE＝E ∴面AMN∥面EFDB (2) 易证MN∥BD ∴∠AMN为AM与BD所成角 易求得 cos∠AMN＝ 在AB、CD上，且．求证：EF∥∥． 证明：1°若AB与CD共面，设AB与CD确定平面γ，则α∩γ＝AC β∩γ＝BD ∵α∥β ∴AC∥BD 又∵ ∴EF∥AC∥BD ∴EF∥α∥β 2°若AB与CD异面，过A作AA∥CD 在AA截点O，使 ∴EO∥BA OF∥AD ∴平面EOF∥α∥β ∴EF与α、β无公共点 ∴EF∥α∥β 变式训练2：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点． 求证：(1) APMN； (2) 平面MNP∥平面A1BD． 证明：(1) 连BC1 易知AP在BCC1B1内射影是BC1 BC1⊥MN ∴AP⊥MN (2) ∵面MNP∥面A1BD 例3.已知a和b是两条异面直线． (1) 求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β； (2) 求证：a、b间的距离等于平面α与β的距离． (1) 在直线a上任取一点P，过P作b∥b，在直线b上取一点Q 过Q作a∥a 设a, b确定一个平面α a, b确定平面β a∥a aα ∴a∥α 同理b∥α 又a、bβ ∴α∥β 因此，过a和b分别存在两个平面α、β (2) 设AB是a和b的公垂线，则AB⊥b，AB⊥a ∴AB⊥a a和b是β内的相交直线，∴AB⊥β 同理AB⊥α 因此，a, b间的距离等于α与β间的距离． 变式训练3：如图，已知平面α∥平面β，线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C、点，交平面β于D、F、E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，试求△DEF的面积． 解：平面α∥平面β，∴AB∥DF，AC∥DE， ∴∠CAB＝∠EDF．在△PDF中，AB∥DF，DF＝AB＝AB，同理DE＝AC． S△DEF＝DF·DE sin∠EDF＝S△ABC＝96． 例4.如图，平面∥平面，ABC．A1B1C1分别在、内，线段AA1、BB1、CC1交于点O，O在、之间，若AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，OA:OA1＝3:2． 求A1B1C1的面积． 解：∵α∥β AA1∩BB1＝O ∴AB∥A1B1 同理AC∥A1C1 BC∥B1C1 ∴△ABC∽△A1B1C1 S△ABC＝AB·AC·sin60°＝ ∴ ∴＝ 所以tanθ＝． 1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理． 2．正确运用两平面平行的性质． 3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线线∥面面∥面． 3 基础过关 典型例题 A1 A B C B1 C1 E F M N D1 D Q F D E C A B α β P B1 A1 C1 β α B C A O 小结归纳