北京四中高中数学 正弦函数、余弦函数的性质提高知识讲解 新人教A版必修1.docVIP

正弦函数、余弦函数的性质 【学习目标】 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义； 2.理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与轴的交点等)。 【要点梳理】 要点 一：周期函数的定义 函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期. 要点诠释： 1.定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. 2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. 要点 二：正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y=cosx 定义域 R 值域 奇偶性 奇 偶 周期性 最小正周期 最小正周期 单调区间 k∈Z 增区间 减区间 增区间 减区间 最值点 k∈Z 最大值点 最小值点 最大值点 最小值点 对称中心 k∈Z 对称轴 k∈Z 要点诠释： （1）正弦函数、余弦函数的值域为，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域。 （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域。 要点 三：正弦型函数和余弦型函数的性质。 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间。比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间。 （4）奇偶性：正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性。对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数。 要点诠释： 判断函数，的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件。 （5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为。 （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为。同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出。 要点诠释： 若，则函数和函数不一定有对称轴和对称中心。 【典型例题】 类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域 例1．求函数的定义域； 【解析】 为使函数有意义，需满足2sin2x+cos x－1≥0，即2cos2x―cos x―1≤0，解得。 画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示。 ∴定义域为。 【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围。 举一反三： 【变式1】求函数的定义域. 【解析】由(k∈Z). 又∵-1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1. 故所求定义域为. 【变式2】已知的定义域为［0，1)，求的定义域. 【思路点拨】求函数的定义域：要使0≤cosx＜1，这里的cosx以它的值充当角. 【解析】0≤cosx＜1，且. ∴所求函数的定义域为. 例2．求下列函数的值域： （1）y=|sin x|+sin x； （2），； （3）。 【解析】 （1）∵， 又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]。 （2）∵，∴。 ∴。∴， ∴0≤y≤2。∴函数的值域为[0，2]。 （3）∵， 当cos x=－1时，， ∴函数的值域为。 【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质。 举一反三： 【变式1】求函数y=3sin2x－4sin x+1，的值域。 【答案】 【解析】， 令t=sin x，因为，所以t∈[0，1]， ，t∈[0，1]，所以。 类型二：正弦函数、余弦函数的单调性 例3．求下列函数的单调递增区间： （1）；（2）。 【思路点拨】（1）要将原函数化为再求之（2）这个函数是复合函数，复合函数的单调性要由“内函数”和“外函数”的单调性共同决定，即“同增异减”。 【解析】（1）. 故由2kπ-≤-≤2kπ+. 3