【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第三章 第3节指数函数目标导学 北师大版必修1.docVIP

§3 指数函数 1．理解指数函数的概念． 2．掌握指数函数的图像和性质． 3．利用指数函数的图像和性质解决简单问题． 1．指数函数的定义 函数y＝ax(a＞0，a≠1)叫作指数函数，其中____是自变量． 指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)解析式的结构特征： 底数：大于零且不等于1的常数； 指数：自变量x； 系数：1. 指数函数解析式的结构的三个特征是判断函数是否为指数函数的三个标准，缺一不可． 【做一做1】 下列函数是指数函数的是( )． A．y＝(－3)x B．y＝－3x C．y＝32x D．y＝2x＋1 2．指数函数的图像和性质 结合函数y＝2x和y＝x的图像和性质，得出指数函数的图像和性质，如下表所示： a＞1 0＜a＜1 图像 性质 (1)定义域：___________ (1)定义域：__________ (2)值域：________________ (2)值域：___________ (3)过定点________________， 即x＝0时，y＝1 (3)过定点___________， 即x＝0时，y＝1 (4)当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 (4)当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 (5)是R上的______ (5)是R上的______ 【做一做2－1】 函数y＝15x的大致图像是( )． 【做一做2－2】 函数y＝x的定义域和值域分别是( )． A．R，R B．(0，＋∞)，(0，＋∞) C．(0，＋∞)，R D．R，(0，＋∞) 3．指数函数的应用 指数函数反映了实数与正实数之间的一种__________关系． 指数幂ax和1的比较： 当x＜0,0＜a＜1或x＞0，a＞1时，ax＞1，即指数x和0比较，底数a和1比较，当不等号的方向相同时，ax大于1，简称为“同大”． 当x＜0，a＞1或x＞0,0＜a＜1时，0＜ax＜1，即指数x和0比较，底数a和1比较，当不等号的方向相反(异)时，ax小于1，简称为“异小”． 因此简称为“同大异小”． 【做一做3】 比较下列各题中两个值的大小： (1)1.82.2__________1.83； (2)0.7－0.3__________0.7－0.4； (3)1.90.4__________0.92.4. 答案：1．x 【做一做1】 C　32x＝9x，y＝32x＝9x是指数函数． 2．(1)R　(1)R　(2)(0，＋∞)　(2)(0，＋∞)　(3)(0,1) (3)(0,1)　(5)增函数　(5)减函数 【做一做2－1】 B 【做一做2－2】 D 3．一一对应 【做一做3】 (1)＜　(2)＜　(3)＞ 指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)中底数a对函数图像有什么影响？ 剖析：设a＞b＞1＞c＞d＞0，则y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图所示，从图中可以看出：在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大． 或者说在第一象限内，指数函数的图像，底数大的在上边，也可以说底数越大越靠近y轴． 题型一 指数函数的定义【例1】 指出下列函数中哪些是指数函数． y＝6x；y＝x4；y＝－4x；y＝(－4)x；y＝2·8x；y＝ex；y＝4x2；y＝(2a－1)x. 分析：根据指数函数的定义进行判断． 题型二 求函数的定义域和值域【例2】 求下列函数的定义域和值域： (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝. 分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，分式问题要使分母不为0，根式问题要使被开方数有意义，结合换元法，联想函数的图像，根据单调性等确定值域． 反思：求与指数函数有关的函数定义域和值域时，要充分考虑指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．对于解析式中某些较复杂的式子，往往采用换元法求解，这样可以使问题变得简洁，避免出错． 题型三 比较大小【例3】 比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5,1.73； (2)2.3－0.28,0.67－3.1. 分析：(1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)利用中间量1比较大小． 反思：比较指数式大小的方法： (1)单调性法：比较同底数幂的大小，可构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数的图像和性质来判断． (2)中间量法：比较不同底且不同指数幂的大小，常借助于中间值1进行比较．利用口诀“同大异小”，判断指数幂和1的大小． 题型四 指数函数的单调性的应用【例4】 设a为实数，f(x)＝a－(xR)． (1)证明f(x)在