极限与连续的例题分析及解法.docVIP

高等数学B（1） 极限与连续的例题分析及解法 本章小结 我们说过，高等数学研究的对象是变量，是函数，现在又可进一步说，高等数学是通过极限来研究并获知函数的许多特性的，后面的微分，积分，级数等都是研究一些特殊类型的极限，因此可以认为极限是高等数学的基础和工具。 第二章，我们介绍了极限的概念和求法，给出了数列极限的定义和函数极限的概念（包括和两种类型），介绍了求极限的若干种方法。同时，叙述了用极限的概念确切地描述函数曲线的连续与间断。 具体地说，要求读者： 1．深刻领会极限的含意，它描述的是一个变量随一切变量变化的趋势。对于数列，要知道极限的“”定义。对于函数，要领会极限存在与不存在的状况。 2．记住一些重要的极限公极： 以及当，时，函数，log，的极限，利用这些函数的图形可帮助领会和记忆相应的极限公式。 记住下列公式，将有助于今后的学习： 3．学会利用下列内容来求极限： （1）恒等变形； （2）极限的四则运算； （3）已知的极限公式； （4）函数的连续性。 4．无穷小量是一类最简单的有极限的量（极限为0），要求掌握无穷小量的性质。无穷大量是不取零值的小量的倒数，它是一类没有极限的量。 5．领会公式是函数在点处连续的确切描述，掌握间断点的分数，这有助于从后面理解连续概念。学会判断给定函数在一点处是连续的还是间断的。记住：初等函数在其有定义的区是内是连续的，在闭区间上连续的函数具有两个重要性质；最大值最小值存在定理和介值定理（包括零点定理）。 一、疑难解析 极限是微积分中一个重要的基本概念，极限方法是研究函数的重要工具，在学习本章时，要正确理解极限与连续的概念及其性质，掌握极限的运算法则是基本方法，会求函数的间断点。 （一）关于极限概念 1．数列的极限 （1）直观的描述 数列是按照某种法则排列起来的一列数，可以看成是自变量取正数整值的函数当无限增大时，无限地接近于常量。从几何意义来看：点列，随着的变大，越来越向靠拢。即 （2）在理解数列极限的定义时要注意 ①随着无限地增大，差距可以无限地变小。 ②当大到定程序后，可以任意小。 ③对于预先指定的任意小的正数，可以找到一个正数整N，当变得比N大时，可以小于。 ④如果对于每一个预先给定的任意小的正数，总存在着一个正整数N，使得对时的一切不等式恒成立，则常数的就叫做数列当趋于无穷大时的极限，或者说收敛于。 注意：“对于预先给定的任意小正数”中的“小”可删去。即改为“对于预先给定的任意正数”。因为“任意正数”已经包括了不论多么小的正数。加上“小”字后，是为了突出“要多小就可以多小”这一意思。 2“总存在一个正整数，使得当”表示大到一定程序后”。 3“”是预先给定的。“”是随后找到的。 “”有两层意思，它先是任意给的，但给定后就固定下来了。因而“”也相应地有以下两方面的意义：它是“”在在相对固定的情形下找到的；它又可随“”的不同而不同。所以有时我们将“”写成。 4一般说来越小，越大。但与并不呈现函数关系。这是因为，对。若能找到，当时，对一切有。那么当，,…，这时的一切显然也满足不等式，因此,…都可以作为我们所要找的 2、函数的极限 （1）直观的描述 ①当时，函数的极限。 此种情况与数列的极限类似。不同处在于是整序变量只取1,2,3,…等孤立的正整数点到。而时，自变量连续地取实数值变到。函数无限接近一个正常数。 ②当时，函数的极限。 当无限接过于常数时，函数无限接近于常数。 或 它的几何意义如图2-1所示 已知及图形，当趋于时，以为极限。就是说当无限接近于时，曲线上的点到直线上对应的点无限接近。具体地说，如果希望上的点到上对应点的纵坐标差的绝对值小于预先指定的，那么我们作出，为边界的带域，由此可以定出的一个领域，使当进入这个邻域后曲线进入带域； 进入的邻域。从而恒有 这就是极限式的几何意义。 （2）在理解函数的极限定义的时要注间 ①随着差距无限变小，差距可以要多小有多小。 ②当差距小到一定程序后，差距可以小于预先指定的任意小的正数。 ③如果对于任意给定的，总可以找到一个，使当，恒成立。 ④“”表示无穷接近于，但。因此在讨论函数极限时要求在附近有定义，但在处可以有定义，也可以没有定义。 （二）关于穷小量和无穷大量 1、无穷小量 无穷小量是以零为极限的变量。以零为极限的数列，以零为极限的函数，都是无穷小量，在概念的理解上，我们不能把它与很小的数相混淆，例如0.0001是很小的数，是常量不是无穷小量。但是，零是可以看作无穷小量的唯一的数，因为通项为零的数列和恒等于零的浸函数，在任何过程都以零为极限，故零是无穷小量。 在理解无穷小量的运算性质时，要注意：“有限个无穷小量的代数和无穷小量，”“有限个无穷小量的积是无穷小量”不能把有限个“这一关键词丢掉，例如： 当时。分别都是无穷