128多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动(无阻尼).pptVIP

All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院? * * 12.8 多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动(无阻尼) 12.8.1 刚度法 1.运动方程的建立 以质点为隔离体，其振动方程为 2.运动方程的求解 简谐荷载，即 (1)设特解形式 (2)求位移幅值 代入得 由此可解得质点位移的幅值。位移幅值Yi为正号，表示与FPi(t)同方向达到最大值，负号表示与FPi(t)反方向达到最大值。 (3)方程的解答 任意时刻的位移 3.惯性力幅值的确定 式中 I1、I2为质点m1、m2的惯性力幅值。 4.求最大动位移(位移幅值) 5.求最大动内力(内力幅值) 常采用列写幅值方程法。即将位移达到幅值Y1、Y2时的干扰力幅值FP1和FP2以及惯性力幅值 、 一起，沿y坐标方向施加于结构上，如图示(注意：所含Yi要自带本身正负号)，然后按静力计算M动（即Md,max）即可。 【例12-30】试求图示结构质量处最大水平动位移，并绘制最大动力弯矩图。已知 。 解：此体系有两个自由度，质量m1、m2分别沿y1、y2水平方向振动 (1)求刚度系数 图 图 图 (2)计算位移幅值 已知荷载的幅值为： 。将m1=m、m2=2m和各刚度系数、荷载幅值以及 代入 解联立方程组，求得位移幅值（质量处最大水平动位移）为 其中，位移幅值为负，表示当干扰力向右达到幅值时，则位移向左达到幅值。 (3)绘制最大动力弯矩图 1) 方法一：列写幅值方程法。利用计算出惯性力幅值I1、I2，然后将它们与干扰力幅值FP一起，沿y坐标方向同时加在结构相应的位置上，按静力计算Md,max，并绘出Md,max图。 2) 方法二：也可利用叠加原理计算，即 本题采用方法二绘出最大动力弯矩图，如图所示（横梁的杆端弯矩由结点平衡条件求得）。 Md,max图 图 图 【推广】下面推广到n个自由度体系 按刚度法建立的振动方程为: 写成矩阵形式 如果荷载是简谐荷载，即 则在平稳振动阶段，各质点也作简谐振动 上式中系数矩阵称为动力刚度矩阵，其行列式可用D0表示，即 动力刚度矩阵 如果D0≠0，即动力刚度矩阵的逆矩阵存在，可解出质点位移幅值 即可求得任意时刻各质点的位移 。 相应的惯性力幅值为 （i=1,2,…,n） 　 代入得 【注意1】当动力荷载FP(t)不全作用在质点上时,则可以将其转化为作用在各质点上的等效结点动力荷载 。 则D0=0。这时，解趋于无穷大。由此看出，当干扰力频率q 与任一自振频率w 相等时，就可能出现共振现象。对于具有n个自由度的体系来说，在n种情况下( ， )都可能出现共振现象。 观察D0式，并比较自由振动的频率方程式可知，如果 【注意2】 动力刚度矩阵 12.8.2 柔度法 振动方程为 式中，D1P、D2P表示由荷载幅值FP 作用使质点1、2产生的“静”位移。 也可以写成 设平稳阶段的解为 代入消去公因子后 可得到各质点的位移、惯性力、惯性力幅值和位移幅值。 位移： 惯性力： 这是以质点幅值Y1、Y2为未知量的代数方程组。由此，可解得位移幅值。 为了更方便地求出惯性力幅值，可将式（12-101c）代入式（12-100），得惯性力幅值方程为 位移幅值： 惯性力幅值： 方法二：也可利用叠加原理计算，即 式中，MP为动力荷载幅值单独作用下的“静”弯矩。 按柔度法计算最大动内力的方法可采用： 方法一：列写幅值方程法。如同刚度法一样，将位移达到幅值Y1、Y2时的干扰力幅值FP1、FP2以及各质点的惯性力幅值 、 一起，沿y坐标方向施加于结构相应的位置上（注意：所含Yi项带本身正负号），然后按静力计算，即可求得动内力（内力幅值）。 【例12-31】图示梁的E＝210GPa，I＝1.6×10-4m4，重量mg=20kN，设动力荷载的幅值FP=4.8kN，q =30s-1。试求两质量处的最大竖向位移，并绘动力弯矩幅值图。 * * *