变厚度薄板在任意弹性边界条件下的自由振动分析.pdfVIP

振　动　与　冲　击 第３２卷第２１期 ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＶＩＢＲＡＴＩＯＮＡＮＤＳＨＯＣＫ Ｖｏｌ．３２Ｎｏ．２１２０１３　  变厚度薄板在任意弹性边界条件下的自由振动分析 薛　开，王久法，王威远，李秋红，王　平 （哈尔滨工程大学 机电工程学院，哈尔滨　１５０００１） 　　摘　要：采用改进傅里叶级数的方法对任意弹性边界条件下的单向变厚度薄板进行自由振动分析，将板的振动位 移函数表示为标准的二维傅里叶余弦级数和辅助级数的线性组合。通过辅助级数的引入，解决了位移导数在边界不连续 的问题，改进后的位移函数能够同时满足位移边界条件和力的边界条件。边界条件通过均匀布置的线性位移弹簧和旋转 弹簧来模拟，改变弹簧刚度值可以实现不同边界条件的模拟。利用Ｈａｍｉｌｔｏｎ原理和ＲａｙｌｅｉｇｈＲｉｔｚ法建立求解方程，得到 变厚度板的控制方程的矩阵表达式，通过特征值分解可以求得固有频率和振型。通过数值仿真分析计算并与有限元及文 献的结果进行比较，验证了本方法的准确性。 关键词：变厚度薄板；自由振动；改进的傅里叶级数；任意弹性边界；Ｈａｍｉｌｔｏｎ原理 中图分类号：ＴＰ５３３　　　文献标识码：Ａ Ｆｒｅｅｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔａｐｅｒｅｄｐｌａｔｅｓｗｉｔｈａｒｂｉｔｒａｒｙｅｌａｓｔｉｃｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ＸＵＥＫａｉ，ＷＡＮＧＪｉｕｆａ，ＷＡＮＧＷｅｉｙｕａｎ，ＬＩＱｉｕｈｏｎｇ，ＷＡＮＧＰｉｎｇ （ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＨａｒｂｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｒｂｉｎ１５０００１，Ｃｈｉｎａ） 　　Ａｂｓｔｒａｃｔ：　ＡｎｉｍｐｒｏｖｅＦｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓｍｅｔｈｏｄｗａｓｅｍｐｌｏｙｅｄｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｆｒｅｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｔａｐｅｒｅｄｐｌａｔｅｓｗｉｔｈ ａｒｂｉｔｒａｒｙｅｌａｓｔｉｃｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ｗｉｔｈｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｉｒｖｉｂｒａｔｉｏｎｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓｗｅｒｅｅｘｐｒｅｓｓｅｄａｓｔｈｅｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆａｄｏｕｂｌｅＦｏｕｒｉｅｒｃｏｓｉｎｅｓｅｒｉｅｓａｎｄａｕｘｉｌｉａｒｙｓｅｒｉｅｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｓｅｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔａｒｙｆｕｎｃｔｉｏｎｓｗｅｒｅｕｓｅｄｔｏ ｓｏｌｖｅｔｈｅｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｓａｌｏｎｇｅｄｇｅｓ，ｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅｄｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｄｂｏｔｈｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔａｎｄｆｏｒｃｅｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｗｅｒｅｐｈｙｓｉｃａｌｌｙｒｅａｌｉｚｅｄｗｉｔｈｔｈｅｕｎｉｆｏｒｍ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓｏｆｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔａｎｄｒｏｔａｔｉｏｎａｌｓｐｒｉｎｇｓａｌｏｎｇｅａｃｈｂｏｕｎｄａｒｙｅｄｇｅ．Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅｄｉｒｅｃｔｌｙｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｃｈａｎｇｉｎｇｔｈｅｓｔｉｆｆｎｅｓｓｅｓｏｆｓｐｒｉｎｇｓ．Ｔｈｅｎ，ＲａｙｌｅｉｇｈＲｉｔｚｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎＨａｍｉｌｔｏｎｓｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｗａｓｕｓｅｄｔｏｂｕｉｌｄａｍａｔｒｉｘｅｑｕａｔｉｏｎｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｔｏｔｈｅｇｏｖｅｒｎｉｎｇｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆａｔａｐｅｒｅｄｐｌａｔｅ，ａｎｄｔｈｅ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓａｎｄｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓｗｅｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｍａｔｒｉｘｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｓａｍｏｎｇｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓ，ｔｈｏｓｅｏｂｔａｉｎｅｄｗｉｔｈＦＥＭａｎｄｔｈｏｓｅｒｅｐｏｒｔｅｄｉｎｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｓｗｅｒｅｐｒｅ