【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点38空间点.docVIP

【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点38 空间点、线、面之间的关系（解析版） 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 平面的概念与基本性质；空间直线、平面之间的各种位置关系；应用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面等；应用公理4及等角定理解决有关问题；异面直线的判定、异面直线所成的角. 二.知识梳理 1．四个公理 公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线2．空间中点、线、面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系[来源:学*科*网] 图形语言[来源:Zxxk.Com] [来源:学科网] [来源:Z|xx|k.Com] 符号语言 a∥b a∥α α∥β 交点个数 0 0 0 直线与直线 直线与平面 平面与平面 相交关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 交点个数 1 1 无数个 直线与直线 直线与平面 平面与平面 关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 aα 交点个数 0 无数个 3.异面直线所成的角 设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角，其范围为：(0，]． 4．定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补平面的基本性质及应用 [例1]　如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AEEB＝CFFB＝21， CGGD＝31，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH. (1)求AHHD； (2)求证： EH、FG、BD三线共点．[解]　(1)∵＝＝2，∴EF∥AC. ∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH， ∴EF∥GH.而EF∥AC.∴AC∥GH.∴＝＝3，即AHHD＝31. (2)证明：∵EF∥GH，且＝，＝，∴EF≠GH.∴四边形EFGH为梯形． 令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH平面ABD，P∈FG，FG平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点． 空间两条直线的位置关系 [例2]　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由． (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由． [解]　(1)不是异面直线．理由：连接 MN、A1C1、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1AC1C，∴A1ACC1为平行四边形． ∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线． (2)是异面直线，理由如下： ∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α， ∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾． ∴假设不成立，∴D1B与CC1是异面直线． 异面直线所成的角 [例3]　正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求AC与A1D所成角的大小； (2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小． [思路点拨]　(1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．(2)可证A1C1与EF垂直． [解]　(1)如图所示，连接B1C，由ABCD－A1B1C1D1是正方体， 易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角． ∵AB1＝AC＝B1C， ∴∠B1CA＝60°. 即A1D与AC所成的角为60°. (2)如图所示，连接AC、BD, 在正方体ABCD－A1B1 C1D1中， AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分别为AB、AD的中点， ∴EF∥BD，∴EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.