大学物理【第五版下册】第九章振动.ppt

1.圆频率 一、弹簧 2.周期 3.频率 周期 频率 与质量无关。 圆频率 二、单摆 三、复摆 质量为 m 的任意物体，绕 o 点作小角度摆动，质心 c 到轴的距离为 lc。 重力矩 “ – ”表示力矩与 ? 张角方向相反。 当 时 令 谐振动微分方程 圆频率 周期 频率 例：均匀细杆长为l、质量为m，绕一端作小角度摆动，求周期T。 解：由 9--4 谐振动的能量 一、谐振动的动能 简谐振动过程既有动能又有势能，Ek、Ep交替变化。 二、谐振动的势能 Ek 最大时， Ep最小， Ek 、Ep交替变化。 机械能守恒，谐振过程保守力作功。 谐振能量与振幅的平方成正比。 三、谐振动的能量 9--2 旋转矢量 一、旋转矢量 将物理模型转变成数学模型。 令旋转矢量 A 以角速度 ? 逆时针作匀速圆周运动， 首先在平面内取一坐标轴OX为参考方向, 其次以原点为起点作一矢量使它的长度恒等于振幅A.此矢量称为旋转矢量. 研究端点M在X轴上投影点的运动， M点运动在X轴上的投影正好满足谐振动方程。 规定t=0时,旋转矢量A与OX轴之间的夹角等于初相? 则任意t时刻,旋转矢量A与OX轴之间的夹角等于 ωt+ψ 旋转矢量法 A A X X O j M ( 0 ) A j 初相 M ( t ) t w t w M ( t ) t w M ( t ) t w M ( t ) M ( t ) t w M ( t ) t w M (T ) T w 周期 T M ( t ) t w M ( t ) t w X O j M ( 0 ) j 初相 M ( t ) t w A 矢量端点在X 轴上的投影对应振子的位置坐标 t 时刻的 振动相位 (w t﹢j ) 旋转矢量 A 以匀角速 逆时针转动 循环往复 x = A cos (w t﹢j ) 简谐振动方程 二、物理模型与数学模型比较 A 谐振动 旋转矢量 ? ?t+? ? T 振幅 初相 相位 圆频率 谐振动周期 半径 初始角坐标 角坐标 角速度 园周运动周期 相对平衡位置的位移 在x轴的投影 三 用旋转矢量表示弹簧、单摆运动初相 1.初始条件 2.初始条件 取 3.初始条件 4.初始条件 取 例一 0.04 0.04 1 2 简谐振动的 曲线 完成下述简谐振动方程 A = 0.04 (m) T = 2 (s) w = 2 p / T = p (rad /s ) 0.04 p p 2 A w = p / 2 t = 0 v0 从 t = 0 作反时针旋转时， A 矢端的投影从x=0向X轴的负方运动， 即 ，与 已知 X~ t 曲线一致。 v0 SI P8例 一质量为 的物体作简谐运动，其振幅为 ，周期为 ，起始时刻物体在 处，向 轴负方向运动（如图）.试求 （1） 时，物体所处的位置和所受的力； 解 代入 代入上式得 解2: （2）由起始位置运动到 处所需要的最短时间. 法一 设由起始位置运动到 处所需要的最短时间为 解法二 起始时刻 时刻 简谐运动的描述和特征 2）简谐运动的动力学描述 弹簧振子 单摆 1）物体受线性回复力作用 平衡位置 3）简谐运动的运动学描述 A,ψ由初始条件决定.ψ也可根据旋转矢量求解. 作业: P37 9—1 9—2 9—3 做在书上. P39 9—12 9—13 9—14 9--15 作业P38 9—6[不作图,求v (t) ,a (t)] 9--8 P38 9-8解:平衡时 任意位置x处，合力 由旋转矢量图知ψ=π 由旋转矢量图知 (2)P点相位为0. 9--3 单摆和复摆 思考:拍皮球是否谐振动? 为变力 此处F=mg为恒力,所以拍皮球不是谐振动. 一维振动 令 有 简谐振动微分方程 ω称为固有角频率或圆频率,由谐振动系统本身的性质决定. ①A为振幅，即物体离开平衡位置的最大伸长的绝对值. 对于弹簧振子 ②?为圆频率，只与弹簧振子性质有关。 单位：rad/s 解微分方程 ③?为初相位。由系统初始条件决定。 利用谐振动过程中机械能守恒，可推导出谐振动方程，并初步明确A,ω,ψ的物理意义. 证明:当谐振子伸长为A时: 当谐振子伸长为X时: 因为机械能守恒 一弹簧原长为l,倔强系数为k,一物体m相距原长X0处于平衡位置,现物体位于平衡位置下方X处,以平衡位置为势能零点,求在C点的 (2)代(1) X指物体相对系统平衡位置的位移. 分离变量,两边积分 令 令 物体振动时,如果离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦