向量数量积的物理背景与意义学生版.docVIP

2.3.1向量数量积的物理背景与意义（于国新） 温故而知新 一、实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下： ① | |＝②时：当＞0时，的方向与的方向 ； 当＜0时，的方向与的方向 当＝0时， ____________．时： ____________ 二、平行向量（共线向量）定义： 第一种定义方式 通过有向线段的直线，叫做向量的基线。向量的 的向量叫平行向量，也叫 向量．共线向量的方向 或相反。向量平行于向量记作//.任一向量都与它自身是平行向量（共线向量）。 第二种定义方式 ①方向或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量. 说明：综合①、②才是平行向量的完整定义； 、向量共线的条件 定理：，则__________；反之，如果，且__________，则一定存在唯一 一个实数使. 四、轴上向量坐标定义： 取与轴同向的_______________,则对轴上的任意向量,一定存在唯一实数,使；单位向量，叫轴的_______________，叫在轴上的_______________（或数量）。的_______________等于的长（模），当与同方向时，是正数；当与反方向时，是_______________数；是零向量时候是零。 五、向量轴上的坐标运算 （1）轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等； 即：设，，于是，如果，则_______________；反过来如果，则_______________。 （2）轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和; 即：设，，于是 ，即的坐标为 六、设是数轴的基向量，当向量的起点为坐标原点时，；是点P在数轴上的坐标; 七、若点Ａ的坐标是,点Ｂ的坐标是，则向量的坐标；即轴上的向量坐标等于终点的坐标减去始点的坐标；轴上两点的距离公式为：︱AB︱= ︱-︱; 知识点梳理 一、两个向量的夹角 已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角，记作_______________。 注意：（1）在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的 （2）向量夹角范围是_______________.且= （3）时，就说向量与垂直，记作 （4）规定零向量不但与任意向量平行，而且零向量与任意向量_______________。 二、向量在轴上的正射影 （1）已知向量和轴，作，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则向量叫做向量在轴上的_______________（简称射影），该射影在轴上的_______________（或数量），称作在轴上的数量或在轴的方向上的数量。 （2）在轴上正射影的坐标（或数量）记作，向量的方向与轴的正向所成的角为，记作则 三、两个向量的数量积（内积）： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量积（内积）为 ·=_______________ ||cosθ叫做向量在方向上的投影 (θ是向量与的夹角)．向量数量积的性质： ⊥_______________ （2）a(a = |a|2或 （3）cos =(︱︱·︱︱) (4) ︱︱·︱︱ （二）、向量的数量积的运算律： ① 交换律： ( = _______________ ② 数乘结合律：()( =(() = (() ③ 分配律：( + )( = _______________ 注意: 即数量积不满足结合律 （三）结论： 例题讲解 1、已知轴，向量的模，，则在轴上的正射影的数量（或坐标）为_____________ 2、已知轴，向量的模，，则在轴上的正射影的数量（或坐标）为_____________ 3、用向量方法求证菱形的两条对角线互相垂直。 巩固练习 1、若向量、满足的夹角为120°，则＝ . 2、（10浙江文13）已知平面向量 ，， ＝1, =2，，则的值是　　　. 3、（10江西理13）已知向量,,满足=1,=2,与的夹角为60°,则-=_____ 4、（2004全国卷Ⅱ文）已知向量a、b满足：|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝( ) （A）B）C）D） 5、（2005北京理、文）若，且，则向量与的夹角为所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（ ） （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心 7、(2006陕西文、理)已知非零向量与满足(+)·=0且·= ,则△ABC为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 （2012天津文科）在△ABC中， A=90°，AB=1，AC=2，设点P，Q满足=， =(1-)， R。若=-2，则=（ ） （A） （B）