高等数学 第3章 第3节泰勒公式 细化版 精华.pdfVIP

细化版 还有更多更多的细化版与优化版 联系旺旺:o 弦官 买一赠多,买细化版 赠优化版,word2013(可激活),相关原教材,mathtype6.9 必威体育精装版版 第三节泰勒公式 对于一些较复杂的函数, 为了便于研究, 往往希望用一些简单的函数来近似表达, |由于用多项式表示的简单函数, 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运猝, 便能求出它的函数值来, 因此我们经常用多项式来近似表达函数, 在微分的应用中已经知道, 当 lxl 很小时, 有如下的近似等式: ex  1  x,ln(1  x)  x. 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子, 显然, 在 x=0 处这些一次多项式及其一阶导数的值, 分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值, |但是这种近似表达式还存在者不足之处: 首先是精确度不高, 它所产生的误差仅是关于 x 的高阶无穷小; 其次是用它来作近似计算肘, 不能具体估算出误差大小, 因此, 对于精确度要求较高且需要估计误差的时候, 就必须用高次多项式来近似表达函数, 同时给出误差公式, 于是提出如下的问题: 设在含有x0 的开区间内,函数f(x)具有直到(n+1)阶导数, 2 n (1) 试找出一个关于(x  x ) 的 n 次多项式p (x) a  a (x  x )  a (x  x )   a (x  x ) 来近似表达 f(x), 0 n 0 1 0 2 0 n 0 n 要求p (x)与 f(x)之差是比(x  x ) 高阶的无穷小, n 0 并给出误差| f(x) p (x) | 的具体表达式, n 2 n (1) 假设p (x) a  a (x  x )  a (x  x )   a (x  x ) 可近似表示 f(x), n 0 1 0 2 0 n 0 现在要确定系数a ,a ,a ,...,a , 0 1 2 n 就能得到 n 次多项式p (x) . n 对(1)式求各阶导数, p (x ) a , n 0 0  p (x ) 1! a , n 0 1  p (x ) 2! a , n 0 2 … (n) p (x ) n! a , n 0 n  (n) 假设 在 处的函数值及它的直到 n 阶导数在 处的值依次与f(x ),f (x ), ,f (x ) 相等, p (x) x x 0 0 0 n 0 0 p (x ) f(x ), n 0 0  