高等数学 第9章 方向余弦 细化版 精华.pdfVIP

细化版 还有更多更多的细化版与优化版 联系旺旺:o 弦官 买一赠多,买细化版 赠优化版,word2013(可激活),相关原教材,mathtype6.9 必威体育精装版版 三、曲面的切平面与法线 我们先讨论由隐式给出曲面方程 F(x,y,z)=0 (15) 的情形, 然后把由显式给出的曲面方程 z=f(x,y)作为它的特殊情形,  设曲面 由方程(15)给出,  M(x ,y ,z ) 是曲面上 的一点, 0 0 0 并设函数 F(x,y,z)的偏导数在该点连续且不同时为零.  在曲面 上, 通过点 M 任意引一条曲线 (图 9-8), Γ 假定曲线 的参数方程为 (16) Γ x φ(t),y ψ(t),z ω(t)(α t  β) 对应于点 且    不全为零, t t M(x ,y ,z ) φ(t ) ψ(t ),ω(t ) 0 0 0 0 0 0 0 则由(8)式可得这曲线的切线方程为 x x0 y  y0 z z0 .    φ(t ) ψ(t ) ω(t ) 0 0 0  我们现在要证明,在曲面 上通过点 M 且在点 M 处具有切线的任何曲线, 它们在点 M 处的切线都在同一个平面上, 事实上,  因为曲线 完全在曲面 上, Γ 所以有恒等式F(φ(t),ψ(t),ω(t)]  0, 又因 F(x,y,z)在点(x ,y ,z ) 处有连续偏导数, 0 0 0 且   和  存在, φ(t ),ψ(t ) ω(t ) 0 0 0 所以这恒等式左边的复合函数在t t0 时有全导数, d 且这全导数等于零: F[φ(t),ψ(t),ω(t)]| 0, t=t dt 0 即有    (17) F (x ,y ,z )φ(t ) F (x ,y ,z )ψ(t ) F (x ,y ,z )ω(t ) 0. x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 z 0 0 0 0 引入向量n (F (x ,y ,z ),F (x ,y ,z ),F (x ,y ,z )), x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0 则(17)式表示曲线(16)在点 M 处的切向量    与向量 n 垂直, T (φ(t ),ψ(t ),ω(t )) 0 0 0 因为曲线(16)