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椭圆的参数方程及其应用 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的： 椭圆的参数方程是（α是参数，）。 特别地，以点（）为圆心，半径是r的椭圆的参数方程是（α是参数，r0）。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 例1 求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值。 解：如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是A（）（），矩形的面积和周长分别是S、L。 ， 当且仅当时，，，此时α存在。 二、求轨迹 例2 已知点A在椭圆上运动，点B（0，9）、点M在线段AB上，且，试求动点M的轨迹方程。 解：由题意知B（0，9），设A（），并且设M（x，y）。 则 ， 动点M的轨迹的参数方程是（α是参数）， 消去参数得。 三、求函数的最值 例3 设点P（x，y）在椭圆，试求点P到直线的距离d的最大值和最小值。 解：点P（x，y）在椭圆上，设点P（）（α是参数且）， 则。 当时，距离d有最小值0，此时椭圆与直线相切；当时，距离d有最大值2。 四、求解有关离心率等入手比较困难的问题 例4 椭圆与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。 解：设椭圆上的点P的坐标是（）（α≠0且α≠π），A（a，0）。 则。而OP⊥AP， 于是，整理得 解得（舍去），或。 因为，所以。可转化为，解得，于是。故离心率e的取值范围是。 [截距法]解线性规划问题 由于线性规划的目标函数：可变形为，则为直线的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： （1）当时，直线所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z取得最小值的点。 （2）当时，与时情形正好相反，直线所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z取得最大值的点。 例1. 设x,y满足约束条件求的最大值、最小值。 解：如图1作出可行域，目标函数表示直线在y轴上的截距，可见当直线过A（1，0）时，截距值最大，当直线过点O（0，0）时，截距值最小。 图1 例2. 设满足约束条件求的最大值和最小值。 解：如图2作出可行域，因为由图2可知过点B时纵截距最大，取得最小值，所以；过点A时纵截距最小，z在A（）处取最大值，。 如何避免“分类讨论” “分类讨论”是一种重要的数学思想，许多问题都离不开分类讨论。但有些问题若能认真审题，深刻反思，克服思维定势，变换思维角度，往往可以避免分类讨论，使问题的解决更为简捷。现采撷几例，供参考。 一、运用最值思想，避免分类讨论 例1：奇函数是R上的减函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围。 解：，且是R上的奇函数，减函数， 得到 （1） ，可得，问题转化为只要k小于的最小值即可。 令，因为在（0，）上是减函数， 故当时， 显然有，即 ∴k的取值范围为（-∞，2） 点评：按照常规思路，由（1）式转化为在上恒成立问题，可令，然后根据二次函数性质及对称轴位置的变化，进行分类讨论，得到： 或或 解得或或，从而求得k的取值范围为（-∞，2）。这样解就显得比较烦琐，因为有些不等式在区间上的“恒成立”问题，一般通过分离变量，转化为函数的最值问题求解。就可以避免分类讨论，使得解题过程简明快捷，少走弯路。 二、妙用换底公式，避免分类讨论 例2：设，且，比较与的大小。 分析：本例通常应分与两种情况讨论，但运用换底公式消去a，就可避免分类讨论，从而达到简化解题过程的目的。 解：运用作商比较法， ，， 三、变换主元地位，避免分类讨论 例3：设不等式对于满足的一切m的值都成立，求m的取值范围。 分析：本例为含参数的不等式，关键是对参数的处理，从表面上看，是一个关于x的一元二次不等式，实质上是一个关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为［-2，2］，求参数的范围。因此通过参数m与未知数x的地位的变化，借助于一次函数图象，避免了繁杂的对参数的讨论。 解：设，它是以m为自变量的一次函数，其图象为直线，由题意知，这条直线当时，线段在y轴的下方，满足它的为 即 四、借助函数性质，避免分类讨论 例4：设定义在［-2，2］上的偶函数在区间［0，2］上单调递减，若，求实数m的取值范围。 分析：由函数的定义域知，但是与m到底是在［-2，0］、［0，2］的哪个区域内，不十分清楚，若就此讨论，将十分复杂，如果注意到性质“如果是偶函数，那么”，问题解答就简捷多了。 解：是偶函数，， 又当时，单调递减， ，解得 点评：本题应用了偶函数的一个简单性质，