艺术生高考总复习 专题十九_坐标系与参数方程(含答案).doc

专题十四 坐标系与参数方程 本专题涉及极坐标系的基础知识，参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程．这部分内容既是解析几何的延续，也是高等数学的基础． 【知识要点】 1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示． 在平面内取一个定点O，O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O称为极点，Ox称为极轴． 设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离｜OM|叫做点M的极径，记作??；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记作??，有序数对(??，??)叫做点M的极坐标．一般情况下，约定??≥0． 2．极坐标系与直角坐标系的互化． 直角坐标化极坐标：x＝??cos??，y＝??sin??； 极坐标化直角坐标：， 3．参数方程的概念 设在平面上取定一个直角坐标系xOy，把坐标x，y表示为第三个变量t的函数 ……①，如果对于t的每一个值(a≤t≤b)，①式所确定的点M(x，y)都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M(x，y)，都可由t的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t称为参数． 4．参数方程与普通方程的互化 把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等． 把曲线C的普通方程F(x，y)＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性． 要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程． (1)经过一定点P0(x0，y0)，倾斜角为??的直线l的参数方程为(t为参数)； (2)直线参数方程的一般形式为(t为参数)； (3)圆的参数方程为(??为参数)； (4)椭圆的参数方程为(??为参数)． 【复习要求】 1．理解坐标系的作用． 2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．了解参数方程． 4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用． 【例题分析】 例1 (1)判断点是否在曲线上． (2)点P的直角坐标为，则点P的极坐标为______．(限定0＜??≤2?) (3)点P的极坐标为，则点P的直角坐标为______． 解：(1)因为，所以点是在曲线上． (2)根据??2＝x2＋y2，， 得??＝2，，又点P在第四象限，，所以， 所以点P的极坐标为 (3)根据x＝??cos??，y＝??sin??，得， 所以点P的直角坐标为 例2 (1)圆??＝2(cos??＋sin??)的半径为______． (2)直线与圆??＝2sin??交与A，B两点，则|AB|＝______． 解：(1)由??＝2(cos??＋sin??)，得??2＝2??(cos??＋sin??)， 所以，x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2， 所以圆??＝2(cos??＋sin??)的半径为． (2)将直线与圆??＝2sin??化为直角坐标方程，得 由得，即， 由??＝2sin??，变形为??2＝2??sin??，得x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1， 因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为， 所以 评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题； (2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定??的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一； (3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如： ①过极点，倾斜角为??的直线：??＝??(??∈R)或写成??＝??及??＝??＋?． ②过A(a，?)垂直于极轴的直线：??cos??＝acos??． ③以极点O为圆心，a为半径的圆(a＞0)：??＝a． ④若O(0，0)，A(2a，0)，以OA为直径的圆：??＝2acos??． ⑤若O(0，0)，A(2a，)，以OA为直径的圆：??＝2asin??． 对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB｜，当然也可以用极坐标方程直接解??，根据??的几何意义求｜AB｜． 例3 圆O1和圆O2的极坐标方程分别为??＝4cos??，??＝－4sin??． (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O1和圆O2交点的直线的直角坐标方程． 解：(1)由??＝4cos??得??2＝4??cos??，根据x＝??cos??，y＝??sin??，所以x2＋y2＝4x． 即x2＋y2－4x＝0为圆O1的直角坐标方程，同理x2＋y2＋4y＝0为圆O2的直角坐标方程． (2)由解得 即圆O1和圆O2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的