两角和与差的正弦.doc

两角和与差的正弦、余弦、正切 1、 可记为 ,公式记为 例1 已知sin(=，cos(=求cos(((()的值 解：∵sin(=0，cos(=0 ∴(可能在一、二象限，(在一、四象限 若(、(均在第一象限， 则cos(=，sin(= cos(((()= 若(在第一象限，(在四象限， 则cos(=，sin(=( cos(((()= 若(在第二象限，(在一象限， 则cos(=(，sin(= cos(((()= 若(在第二象限，(在四象限， 则cos(=(，sin(=( cos(((()= 例2已知cos(2α-β)=-,sin (α-2β)=,且α,0β, 求cos(α+β)的值 分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系， 即(2α-β)-(α-2β)=α+β由α、β角的取值范围，分别求出2α-β、α-2β角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解 解：∵, ∴2α-βπ,- α-2β, 由cos(2α-β)=-得，sin (2α-β)=; 由sin (α-2β)=得，cos(α-2β)= ∴cos(α+β)=cos［(2α-β)-(α-2β)］=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin (2α-β)sin (α-2β)=- ×+×= 评注：在三角变换中，首先应考虑角的变换如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的常用的变换角的方法有：α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+α,α=,… 2、 记作 记作 例1 不查表，求下列各式的值： 1( sin75( 2( sin13(cos17(+cos13(sin17( 解：1(原式= sin(30(+45()= sin30(cos45(+cos30(sin45( = 2(原式= sin(13(+17()=sin30(= 例2 已知sin((+()=,sin(((()= 求的值 解： ∵sin((+()= ∴sin(cos(+cos(sin(= ① sin(((()= ∴sin(cos((cos(sin(= ② ①+②：sin(cos(= ①(②：cos(sin(= 例3 已知sin( + sin( = ，求cos( + cos(的范围 解：设cos( + cos( = t， 则(sin( + sin()2 + (cos( + cos()2= + t2 ∴2 + 2cos(( ( () = + t2 即 cos(( ( () = t2 ( 又∵(1≤cos(( ( ()≤1 ∴(1≤t2 (≤1 ∴≤t≤ 例4 求证：cosx+sinx=cos(x) 证：右边=( cosxcos+sinxsin)=(cosx+sinx) = cosx+sinx=左边 3、 两角和与差的正切公式 当cos(cos((0时, 注意：1(必须在定义域范围内使用上述公式即：tan(，tan(，tan((±()只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解 2(注意公式的结构，尤其是符号 当sin(sin((0时, cot((+()= cot(((()= 例1求tan15(，tan75(及cot15(的值： 解：1( tan15(= tan(45((30()= 2( tan75(= tan(45(+30()= 3( cot15(= cot(45((30()= 例2 已知tan(=，tan(=(2 求cot(((()，并求(+(的值，其中0((90(, 90((180( 解：cot(((()= ∵ tan((+()= 且∵0((90(, 90((180( ∴90((+(270( ∴(+(=135( 课后练习： 1．已知cos(((()=,求(sin(+sin()2+(cos(+cos()2的值 2．sin((sin(=(，cos((cos(=，(((0, ),(((0, ),求cos(((()的值 3、 已知sin((+() =，sin(((() =，求的值 4、已知tan（α＋β）＝，tan（β－）＝，那么tan（α＋）等于 5、在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两个根，则tanＣ等于( ) A2 B－2 Ｃ4 Ｄ－4 6、在△ABC中，若0＜tanA·tanB＜1则△ABＣ一定是