2004电子科大高等数学竞赛试题与解答.doc

电子科技大学2004年高等数学竞赛试题解答 （ 180 分钟） 考试日期 2004 年 9月 11 日 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 评卷教师 一、选择题（40分） 1. 下列命题中正确的命题有几个？ ……………………………………………………………………………（ A ） （1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量； （3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. 2. 设 ， 则是间断点的函数是 ……………………………………（ B ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) .. 3. 设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 …………………（ C ） (A) 1； (B) ； (C) ； (D) . 4. 设连续，当时，与为等价无穷小，令， , 则当时，的 ……………………………………………… （ D ） (A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小. 5. 设在点的某邻域内连续，且满足 则在点处 ………………………………………………………………………………… （ A ） (A) 取极大值； (B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值. 6. 设在连续，且导函数的图形如图所示，则有…………………………… （ D ） (A) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点； (B) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点； (C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点； (D) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点. 7. 设有连续的一阶导数，则 …… …………………………………… （ B ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 0 . 8. 设任意项级数 条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为，则与 ………… …………………………………………（ B ） (A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散； (D) 以上三种情况都可能发生. 9. 设 阶矩阵A的伴随矩阵 ，且非齐次线性方程组 有两个不同的解向量，则下列命题正确的是 ……………………………………………………………………………………………………（ D ） (A) 也是的解； (B) 的通鲜为 （）； (C) 满足的数必不为零； (D) 是的基础解系. 10. 设则三个平面 两两相交成三条平行直线的充要条件是 …………………………………………………………………（ C ） (A) 秩; (B) 秩; (C) 中任意两个均线性无关，且不能由线性表出; (D) 线性相关，且不能由线性表出. 二、(10分）设在区间连续，, 试解答下列问题：（1）用表示；（2）求；（3）求证：； （4）设在内的最大值和最小值分别是,求证：. 解（1） （2） （3） （4） 三、（10分）求曲线 所围成的平面图形的面积. [解1]去掉绝对值曲线为： [解2]令. . 四、（10分）设曲面为曲线 () 绕轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分 [解1]S的方程为 补两平面 ； [解2] 五、（10分）设n阶矩阵 的前 个列向量线性相关, 后 个列向量线性无关, ; （1）证明线性方程组有无穷多解；（2）求方程组的通解. 解（1）相关，相关；无关，的秩为，且可以由表出；又由已知可由表出，故与等价，从而的秩为，，增广矩阵的秩与A的秩相等，即，故有无穷多解. （2）相关，不全为0的数，使，即，又 的基础解系只含一个解向量的基础解系； 又 的解， 故的通解为x = C 六、（10分）设 阶矩阵的4个不同特征值为, 其对应的特征向量依次为，记, 求证： 线性无关. [解1] ，从而 . 无关，，，故的秩为4，故线性无关. [解2]设存在一组数使 （1） 由题设，利用特征向量的性质可得 （2） 将（2）式一并代入（1）式可有 整理得 因分属不同的特征值，故线性无关，从而有 视为未知数，此为4个未知量，4个方程组成的齐次线性方程组，其系数行式为范德蒙德行列的转置. 因互异，所以. 这表明只有零解，即=0，从而线性无关. 七、（10分）设幂级数 , 当时，且; （1）求幂级数的和函数；（2）求和函数的极值..