隧道的结构计算.pptVIP

第四章 隧道结构计算 式中： 、 ——单位抗力图为荷载引起的基本结构在 、 方向的 位移。 ——单位抗力图为荷载引起的基本结构墙底转角； 其余符号意义同前。 解出 、 后，即可以求出衬砌在单位抗力图为荷载单独 作用下任一截面内力： 五、衬砌最终内力计算及校核计算结果的正确性 衬砌任一截面最终内力值可利用迭加原理求得： 校核计算结果的正确性，可以利用拱顶截面转角和水平位 移为零条件和最大抗力点h点的位移条件： 式中： ——墙底截面最终转角 第四节 弹性地基上直梁的计算公式 一、基本计算公式的建立 直墙式衬砌的边墙是按弹性地基上直梁计算位移和内力的， 这里介绍广泛应用的初参数法。 设直梁的高度与长度之比甚小，符合材料力学中的平面假 设，可以用材料力学公式进行位移和内力计算；设直梁底面与 地基间不存在间隙，地基为各向同性的半无限体；设直梁与地 基之间的摩擦力对直梁内力影响很小，可以忽略不计，故地基 反力与直梁底面相垂直。经过上述假设后，取一等截面直梁置 于地基上，其宽度为1m，见图4-17。梁上作用有任意荷载时， 梁将产生挠度，地基将产生相应的沉陷y并产生地基反力p，由 温克尔假定得p=ky。符号规定：荷载q与沉陷y以向下为正，反 力p以向上为正，转角 、弯矩M及剪力H按照材料力学的规定， 见图4-18。 图4-17 图4-18 今在分布荷载bc段上取一微分体，见图4-19。根据平衡条件 得： 整理后得： 图4-19 根据平衡条件 得： 整理并略去二阶无穷小后得： 将式(4-31)对x微分一次，并与式(7-30)比较得： 由材料力学公式，不计剪力对挠度影响时，则： 将剪力Ｈ对x微分一次： 比较式(4-32)及式(4-33)得： 　　令　　　　(因次为　　，称为弹性特征值或弹性标值) 则式(4-34)可改写为： 式(4-35)即为弹性地基上直梁的挠度曲线微分方程，是四阶线性 常系数非齐次微分方程，解之即求的梁的挠度方程。其全解可用 一个特解　及与之对应的齐次方程的通解的和表示。 其齐次方程为： 即相当于梁上无荷载，q(x)=0的情况。为解题方便，用ax代替x， 可得： 试用具有形式 (r为常数)的函数满足方程，则： 将式(4-38)代入式(4-37)得： 所以： 式(4-39)称为微分方程式(4-37)的特征方程，从中解出r的4个根， 得到4个特解，并得到其通解： 利用欧拉公式和双曲线函数公式及定义，式(4-40)可以有不同表 示形式，但整理后均可表示为： 逐次积分后可得： 上述由线性微分方程式解得的位移、转角、弯矩及剪力公式 中未知的积分常数与粱的始端内力(初剪力、初弯矩)和变形(初转 角、初位移)有关。它们个数很少，容易根据梁的边界条件确定。 当x=0时，chax=cosax=1，shax=sinax=0梁始端的初参数， 见图4-20，可由式(4-41)及式(4-42)求出： 图4-20 由式(4-43)可以解得积分常数： 将积分常数回代式(4-41)及式(4-42)，即可求出梁的任一截面的 内力与变位。但式中的双曲函数及三角函数只与梁的几何尺寸、 材料及地基弹性抗力系数有关，为使计算得到简化，令 并将式(4-44)预先计算出以ax为变量的双曲线三角函数，其值通 常列成表格，见附录。将式(4-43)及式(4-44)代入式(4-41)及式 (4-42)可得： 只要式(4-45)中的初参数 、 、 及 知道，则梁的任一 截面的位移和内力即可求出。根据温尔克假定将梁的挠度(即地 基的沉陷)方程乘以地层弹性抗力系数k即得反力(抗力)方程。 二、梁上有分布荷载作用的情况 梁上有分布荷载时，相当于q(x) 0的情况。若为均布荷载 时，q(x)=e，若为梯形荷载时 ，见图4-21。梁上有荷载 时，即式(4-35)所表达的情况，为四阶线性常系数非齐次微分方 程。其余解可用它的一个特解及对应的齐次方程的通解之和表示 。对应齐次方程的通解已经求得，但求特解则比较烦琐。如果已 经找到一个特解为： 图4-21 梯形荷载时： 均布荷载(即 )时： 则，式(4-35)的全解，即梁的任一截面位移(按梯形荷载计算) 如下： 逐次微分可得梁上任一截面的转角 、弯矩M及剪力H如下： 第五节 直墙式衬砌计算 直墙式衬砌的计算方