伪Drazin逆的Jacobson引理和Schur定理.docVIP

伪 Drazin 逆的 Jacobson 引理和 Schur 定理 摘要：经典环论中有两个重要的结果，分别称为 Jacobson 引理和 Schur 定理。本文从伪 Drazin 逆出发，给出伪 Drazin 逆情形下的 Jacobson 引理和 Schur 定理，推广了前人的一些 结果。 关键词：伪 Drazin 逆；Jacobson 引理；Schur 定理 中图分类号： O153.3 Jacobson’s Lemma and Schur’s Theorem of Pseudo Drazin Inverses WANG Zhou Department of Mathematics, Southeast University, Nanjing, 210096 Abstract: Jacobson’s Lemma and Schur’s Theorem are well-known results in classic ring theory. In this paper, one presents generalized Jacobson’s Lemma and Schur’s Theorem of pseudo Drazin inverses, which extends some basic results about Jacobson’s Lemma and Schur’s Theorem. Key words: pseudo Drazin inverses; Jacobson’s Lemma; Schur’s Theorem 0 引言 1958 年，Drazin [1] 在结合环和 Banach 代数中引入伪逆（后来人们称之为 Drazin 逆） 的概念，并将其与环论中的一个重要概念强 π? 正则元联系起来，发现了伪逆与强 π? 正则 元之间的一致性。随着研究的深入，人们又将其相继应用到线性微分系统、有限 Markov 链及 误差估计等领域。五十多年来其理论和应用不断得到丰富和发展，也相应产生了一些更一般的 Drazin 逆，如广义 Drazin 逆 [2, 3] 和伪 Drazin 逆 [4] 等。 在经典环论中，一个众所周知的结果是，如果环 R 的元素 a, b 满足 1 ? ab 可逆，则 1 ? ba 也可逆。后来人们称之为 Jacobson 引理 [5]，Kaplansky 甚至称它为沙漠孤岛引理。随 后，人们又相继得到 Drazin 逆 [5] 及广义 Drazin 逆下的 Jacobson 引理 [6]。我们从伪 Drazin 逆的条件出发，得到相应的 Jacobson 引理。 1978 年，Hartwig [7] 将 Schur 的经典结果做了很大一步推进，即考虑环 R 上一个 2n × 2n A C 矩阵 M = B D -1- M ∈ U(M2n(R)) 当且仅当 DA ? BC U(Mn(R))。本文利用伪 Drazin 逆，得到伪 Drazin 逆 条件下的 Schur 定理。 本文中涉及到的环都是指有单位元的结合环。设 R 是环，U(R), J(R) 分别指环 R 的乘法单位群和 Jacobson 根；Mn(R) 表示环 R 上的 n 阶矩阵环。设 a R，我们记 comm(a) = {x R | xa = ax} 且 comm2(a) = {y R | xy = yx, 对所有的x comm(a)}. 文中使用的都是代数学中的标准记号，其中没有介绍的相关记号和术语可参考 Anderson 和 Fuller 的著作 [8]. 1 伪 Drazin 逆的 Jacobson 引理 本节的开始，我们先给出 Jacobson 引理的最初形式，这一结果后来 Kaplansky 也称它为沙漠 孤岛引理。 引理 1.1 [6, 引理 2.1] 设 a, b R。如果 1 ? ab U(R)，则 1 ? ba U(R) 且 (1 ? ba)?1 = 1 + b(1 ? ab)?1a。 在 [4] 中，我 们 介 绍 了 伪 Drazin 逆 的 概 念，称 a R 有 伪 Drazin 逆 是 指，存 在 b comm2(a), k ≥ 1 使得 ab2 = b 且 ak ? ak+1b J(R)。这里的 b 存在必唯一，称为 a 在 R 中的伪 Drazin 逆，记为 a? = b，且记 aπ = 1 ? ab。一般的，a R 有 Drazin 逆，则 a 必然有伪 Drazin 逆，反之未必。 2010 年，Harte [5] 等人将 Jacobson 引理推广到 Drazin 逆的情形，即，对于 a, b R，如 果 1 ? ab 有 Drazin 逆，则 1 ? ba 也