复变函数--第二章.pptVIP

第二章 复变函数的积分 §2.1 复变函数的积分 积分的概念 积分存在的条件及积分性质 §2.2 Cauchy积分定理 Cauchy积分定理 复合闭路定理 典型例题 §2.3 Cauchy积分公式 问题的提出 Cauchy积分公式 典型例题 §2.4 解析函数的原函数 原函数的概念 Newton-Leibniz公式 1 原函数的概念 2 Newton-Leibniz公式 原函数之间的关系: 定义2.2 设f z 是定义在区域D上的复变函数, 若存在D上的解析函数F z 使得 在D 内成立，则称F z 是f z 在区域D上的原函数. 如果f z 在区域D上存在原函数F z , 则f z 是 解析函数，因为解析函数的导函数仍是解析函数. 定理2.7 设F z 和G z 都是f z 在区域D上的原 函数, 则 常数 . 那么它就有无穷多个原函数, 一般表达式为 根据以上讨论可知: 证明 设F z 和G z 都是f z 在区域 D上的 根据 可知, 为常数. 原函数, 于是 如果F z 是f z 在区域 D上的一个原函数， 其中C是任意复常数 . 证明 可利用 定理2.8 设f z 是单连通区域D上的解析函数, z0是D内的一个点, C是D内以z0为起点, z为终点的 分段光滑 或可求长 曲线, 则积分 只依赖于z0与z, 而与路径 C 无关. Riemann方程以及曲线积分路径无关的充分必要 条件来证明. 下面利用Cauchy积分定理证明. 中的Cauchy- 和 解 显然C1和C2围成一 例2.7 计算积分 其中G 由正向圆周 和负向圆周 组成. 个圆环域. 函数 在此圆环域及其边界上解析, 并且圆环域的边界 构成复合闭路, 所以根据 , 例2.8 求积分 其中G 为含z0的 解 因为z0在闭曲线G 的内部, 任意分段光滑的Jordan曲线, n为整数. 故可取充分小的正数r , 使得圆周 含在G的内部. 可得 再利用 根据 , 故 这一结果很重要. 与 进行比较. 1 问题的提出 2 Cauchy积分公式 3 高阶导数公式 4 典型例题 定理知, 当r 充分小时, 这个积分值与r 的取值无关, 设f z 在单连通区域D上解析, z0是D内的 一个定点, 则 在z0 不解析. Jordan曲线, 当r 0充分小时, 根据复合闭路 如果C是含z0在其内部区域的分段光滑的 所以这个积分值只与 f z 在 z0 附近的值有关. 因为f z 在 z0 连续, 故 上函数 f z 的值将随着r 的减小而接近 因此, 随着r 的减小, 应该有 接近于 然而 Cauchy积分公式 定理2.5 设f z 是单连通区域D上的解析函数, z0 是D内的一个点, C是任意一条含 z0 在内部区域 的分段光滑 或可求长 Jordan曲线, 则 取R 0充分小, 使得R d , 并且正向圆周G : 证明 f z 在z0连续, 则?e 0, 存在d 0, 使得 当 时, 在C的内部, 则 的值与 R 无关, 所以由e 的任意性, 可知 根据 实际上, 积分 关于Cauchy积分公式的说明: 可见, 函数在C内部任一点的值可用它在边界上 （这是解析函数的一个重要特征） 1 从Cauchy积分公式 的值通过积分来表示. 这表明了Cauchy积分公式不但提供了计算 这是研究解析函数的有力工具 2 如果曲线C上的点用z 表示, C内部的 点用z 表示, 则Cauchy积分公式表示为 某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出 了解析函数的一个积分表达式. 例2.9 计算积分 其中C是 正向圆周 解 在C内部作正向圆周 根据 , 因为 在C1围成的闭区域上解析, 在C2 围成的闭区域上解析, 所以由 Cauchy积分公式 高阶导数公式 如果各阶导数存在, 并且导数运算可在积分号下 进行, 则 由 , 解析函数的积分表达式为 1 解析函数