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艾滋病疗法的评价及疗效的预测 摘要 在本文中我们分别建立多项式拟合预测模型和灰色系统的GM（1，1）趋势预测模型来对艾滋病治疗方法进行评价及疗效预测。首先我们通过三次样条插值补齐一些缺失的数据。 多项式拟合预测模型：我们通过多项式拟合的方法，建立了CD4个数与治疗时间的关系。问题一中，通过线性拟合的方法建立了CD4个数与HIV浓度的关系，从而以CD4 的变化作为桥梁确定HIV与治疗时间的关系 ，预测出继续治疗，并且确定出在第70周开始停止用药。问题二中，我们把每一种治疗方法划分为四个阶段，在每一个阶段四种疗法按照从优到劣的顺序从小到大进行编号，最后把每种疗法的各阶段编号按照平均加权求和最小法找到最优的疗法。不考虑年龄因素的影响时，疗法四最优，疗法二次优；考虑年龄因素时，我们把患者分为两类，对大于等于40岁的患者来说疗法四最优，疗法三次优，对小于40岁的患者来说疗法四最优，疗法二次优。问题三中，加入药物费用这一项，给它的权值为0.6 ，我们采用问题二中寻优的方法，得到疗法一最优，疗法三次优。40岁以上的人选择停止治疗，40岁以下的人选择继续治疗。 灰色预测模型：我们通过分析原始数据的发展趋势，利用灰色模型来寻找系统变动的规律，以此来预测数据的发展状况。在问题一中，将CD4作为桥梁用灰色模型对HIV进行预测，得出患者可以继续进行治疗的结论。在问题二中，将人群按年龄分层，分别对四种疗法进行灰色预测。针对小于40岁的患者，疗法一最优；针对大于等于40岁的患者，疗法四最优。在问题三中，从疗效和费用两方面考虑，通过对二者加权来评价四种疗法。针对小于40岁的患者，疗法一最优；针对大于等于40岁的患者，疗法四最优。 关键词： 三次样条插值 多项式拟合 灰色系统的GM（1，1）趋势预测 问题重述 艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。 迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。 现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。 ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。 （1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前）。 （2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。 (3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。 基本假设 1. 病人体内HIV的浓度只与CD4的浓度和时间有关，不受任何外界因素的影响。 2. 每位病人在服用药物后接受测试所得到的数据是稳定的。 3. 我们假设最佳治疗终止时间为药物的作用已经对病人体内CD4浓度的增长 或是HIV病毒的减少没有任何影响的时刻。 4. 每一次测试所得数据是服从正态分布的。 5. 假设附件中所给的数据是真实的。 符号说明 m 拟合多项式的次数 p 拟合多项式的系数p=[p(1),…,p(m),p(m+1)] d CD4的浓度，单位为0.2个/ml h HIV的浓度 t 测试的时间，以周数为单位 系统输出的非负原始数据序列 的AGO生成序列，即一阶累加生成序列 的紧邻均值生成 （k=1,2…,n） 为待定系数,称之为发展系