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数理方程总结 课程结束 谢谢观看 五、应用举例 [例1]设半径为a导体球的球面温度分布为18cos2?， 求解球内稳定温度分布。 解：定解问题 ① 注：①无源的稳定场 ② 与?无关 决定 u=u (r,?) 设u (r,?)=?(?)R (r)代入①中方程及有关边条件 得： ② 和： ③ 解②得： 解③：设r=et，则③变为： 利用 ③的解为 迭加特解得通解： 代入边条件定解: 法一： 直接比较系数： 【例2】均匀电场E中放入一接地导体球， 半径为a，求 球外电位分布 o z 解：列出定解问题 方程： 如果oz轴选择与电场同方向， 则u=u (r,?)，与φ无关。 静电场且无电荷分布的区域 中，电位满足拉氏方程。 边条件： 1）r=a处，u (a,?)=0（接地 ） 2）r=∞处 无穷远处电场分布不会受到导体球上感应电荷 的影响，电场仍为匀强场。 球系 3）?=0,π处仍提有界条件 ∴定解问题 ① 设u (r,?)=?(?)R (r)代入①中方程及有关边条件, 和： ③ ② 得： 解②得： 解③得： 通解： ∵r→∞，r -(l+1) →0，先用r=∞处的边条件定解： 定解： 直接比较系数： 代入通解 三、处理的主要问题 1.一维空间齐次方程，齐次边条件的定解问题 2.一维空间非齐次方程，齐次边条件的定解问题 3.一维空间非齐次边条件的定解问题 4. 多维空间的定解问题 齐次方程、齐次边条件的初值—边值问题 一、两端固定弦的自由横振动 1.求解过程： （1）列出定解问题 ① (2) 分离变量 设形式解: ② 得到 ③ 和 （3）求解本征值问题②： ④ (4) 求解相应的方程③的解（将本征值代入） (5)构成特解 （6）特解叠加得通解 令通解满足非齐次初条件，求解迭加系数 （2）求解的主要步骤 齐次泛 定方程 分离变量 u=XT T (t)的常 微分方程 X (x)的常 微分方程 应的T n 求出相 求出?n、Xn (x) 解本征值问题 齐次边 条件 分离变量 u=XT X (x)的边条件 迭加 特解 得通 解 初条件 代入通解求出迭加系数 (3)关于常微分方程的本征值问题 (*) i) ii) iii) iv) 弦振动方程 热传导方程 非齐次方程、齐次边条件的初值边值问题 【例】两端固定弦的受迫振动： 设：弦上单位质量上作用着外力f (x ,t) ① 法一：按本征函数系展开法 法二：齐次化函数法 一、按本征函数系展开法 两端固定弦的自由横振动的解： 是由齐次方程+齐次边条件（第一类）构成 的本征值问题中解出的本征函数系 主要步骤： （1）求相应齐次方程齐次边条件的本征函数系 （2）按本征函数系展开u (x ,t)和定解问题中所有 非齐次项，并由方程和初条件分离出Tn (t)的 常微分初值问题。 （3）求解Tn的常微分初值问题，代入u (x ,t)即得结果 二、齐次化函数法 理论依据：线性算子的性质 【例1】求重力作用下，两端固定弦的横振动。初速 度及初位移均为零 ① 设：u (x ,t)=v (x ,t) +? (x ,t) 令? (x ,t)满足： ③ 则v (x ,t) 一定满足 ④ 分析：将① u=v+? ③解? ④解v u=v+? 由方程知：?xx→常数，最简单的?(x)＝Ax2+Bx+C 设： ?(x)＝Ax2+Bx+C代入③ ⑤ 【例2】求解定解问题 设u=v+?代入①得： ② 和 ③ ① 设： 代入② 一、典型例及求解方法 ① 途径一：齐次化边条件→§3 展开法 齐次化函数法 途径二：同时齐次化方程及边条件→§2 非齐次边问题分离变量求解 解法一：齐次化边条件 令：u (x ,t)=v (x ,t) + ?(x ,t)，使?(x ,t)满足①的边条件 则v (x ,t) 满足： ② ③ 由②猜?(x ,t)：设?(x ,t)＝A (t) x + B (t)，代入② 代入③求解 解法二：同时齐次化方程和边条件 设u (x ,t)=v (x ,t) + ?(x ,t)，令?(x ,t)满足① 中方程和边条件： 猜?(x ,t)，则v满足： §2圆内狄氏问