第六章 线性空间与线性变换.pptVIP

谢谢大家！ * * 定义6.1 设P是由一些复数组成的集合，其中包 括0和1；如果P中任意两个数（可同或不同）的 和、差、积、商（分母不为零）仍是P中的数， 称P为一个数域。 如：有理数集、实数集、复数集等都是数域， 但整数集就不是数域。 简单说： 如果一个包括0和1在内的数集P对于 加、减、乘、除（分母不为零）运算是封闭的， 称P为一个数域。 例1 具有形式 的数（a，b是有理数），则构成一个数域。 特别：最小的数域是有理数域。 定义6.2 设V是一个非空集合，R是一个实数域，在集合V中 定义了一种代数运算，叫做加法：即对　　　　　， 在V中都存在唯一的一个元素　与它们对应，称　为 　　 的和，记为 　　　 ；在R与V的元素之间还 定义了一种运算，叫做数量乘法：即 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为 　　 的数量乘积，记为 如果加法和数量乘 法还满足下述规则： 加法满足下列四条规则： ① ⑤ ⑥ ⑦ （具有这个性质的元素0称为V的零元素） 数量乘法满足下列四条规则 : ② ⑧ ④ 对 都有V中的一个元素β，使得　 ;（β称为 的负元素） ③ 在V中有一个元素0，对 则称V为数域R上的线性空间（向量空间） 上述中的α、β等称为（实）向量 注： （1）上述定义中的数域R可换成一般的数域V， 则相应地称为数域V上的向量空间。 （2）这样的数域V上的向量空间在现实的例子是非常多的。见P160-161 （3）数域V上的向量空间中的零元、负元等需根据实际的定义来确定，并非一定是0和1。 定理6.1 在线性空间V中 ， （1）零元素是唯一的。 （2）任一元素的负元素是唯一的，并把α的 负元素记为－α 。 （3）0α＝0；（-kα）＝-（kα）；k0=0; （4）如果λα＝0；则λ=0或α＝0 构成数域 定义6.3 设 上的一个向量空间， 对于 的一个非空子集。 是数域 是 的加法和数量乘法也 上的向量空间，则称 是 的一个子空间。 如果 定理6.2 线性空间V的非空子集W构成线性子 空间的充要条件为： W对于V中的线性运算封闭，即对加、数乘 运算封闭。 ②　　　　　　　　　　　　　　线性相关. 若满足： 设　　　　　是线性空间V中的一个向量组， ①　　　　　　　　线性无关； 则称　　　　　　　　为V 的一个基. 定义6.4 定义6.5 一个向量空间 的基所含向量 的个数 叫做向量空间 的维数。记dimV=n 零空间的维数定义为0。即dimV＝0 无限维空间的维数为无穷大。 于是， 的一个基。 定义6.6 是数域 上一个 维向量空间, 是 , 都可以唯一地表成： 对每一个向量 有唯一的 元序列 称为关于基 的坐标。 设F是一个数域，A和B是F上向量空间. 定义6.7 设σ是A 到B 的一个映射. 如果下列条件被满足，就称σ是A 到B 的一个线性映射： ①对于任意 ②对于任意 容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件： ③对于任意 和任意 在数域 上 维空间 内取定一个基之后， 的每一 上 元数列，因此属于 。这样一来，取定了 的一个基 ，对于 的每一个向量 令它关于这个基的坐 标 与它对应，就得到 到 的一个映射。 个向量 有唯一确定的坐标 。向量的坐标是 反过来，对于 中任意元素 是 中唯一定的向量，并且 因此， 是 到 的双射。如果 并且 那么由坐标的唯一性 得： 并且对 于 这就是说，映射 “保持向量的加法和标量与向量的 乘法”，如果两个向量空间之间存在这样一个映射，就 是说它们是同构的，确切地说，我们给出以下 到 定义6.8 设 和 是数域 上两个向量空间。 的一个映射叫做一个同构映射，如果 （1） 是 到 的一一映射； （2）对于任意 ； 之间建立一个同构映射， （3）对于任意 。 如果数域 上两个向量空间 和 那么就说 与 同构，并且记作 定理6.3 数域 上任意一个 维向量 空间都与 反之也成立。 同构。 设V为数域P上n维线性空间，　　　　　； 为V中的两组基，若 ① 即 则称矩阵 为由基　　　　　 到基　　　　　 的过渡矩阵； 称 ① 或 ② 为由基　　　　　 到基　　　　　　 的基变换公式． ② 1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵． 2）若由基 　　　　　　　　　　　 过渡矩阵为A, 则由基 　　　　　　　　　　　过渡矩阵为A-1. 3）若由基 　　　　　　　　　　　过渡矩阵为A, 由基