解读双曲线定义及其标准方程.docVIP

解读双曲线定义及其标准方程 一、双曲线的定义 定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线． 集合表达式：． 从以下几个方面加强对定义的理解： 1．对教材拉链实验的理解 如图，从左边开始都减去等量的线段后，差仍然是． 2．定义中的三个关键词 定义中有三个“关键词”：“小于”、“绝对值”、“常数”，这三个关键词始终伴随着双曲线，在解题时，应首先考虑． 关于“小于”， 若将“小于”改为“等于”，其余条件不变，则曲线为两条射线． 若将“小于”改为“大于”，其余条件不变，则曲线就不存在． 关于“绝对值” 若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支． （3）关于“常数” 若“常数”等于零，其余条件不变，则点的轨迹是线段的中垂线． 当然以上还有前提是：在平面内，若去掉“在平面内”，则就是空间图形了，不是中学所研究的范畴． 例　若点（，且为常数）为两个不同定点，且点满足（，为常数），求点的轨迹． 分析：抓住双曲线定义中的三个“关键词”，不难分为，，及四种情况讨论． 解：①若，点的轨迹不存在； ②若，点的轨迹是以点为端点向右延伸的射线； ③若，点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支，这时的双曲线方程为； ④若，点的轨迹是线段的垂直平分线． 二、双曲线的标准方程 双曲线的标准方程中“标准”的含义有两层：其一是两个焦点在坐标轴上，其二是两个焦点的中点与坐标原点重合． 当焦点在轴上时，双曲线的标准方程为（）；当焦点在轴上时，双曲线的标准方程为． 说明：（1）双曲线的焦点在轴上时，项的系数为正数，项的系数为负数，其焦点坐标为，且；双曲线的焦点在轴上时，项的系数为正数，项的系数为负数，其焦点坐标为，且． （2）在双曲线的标准方程中，与无大小之分，但，且有． （3）有关双曲线方程的实际应用问题是教材的一个难点，体现了数学的使用价值，可以激发我们学习数学的兴趣，那么，如何解答这类题型呢？ ①建立数学模型：就是要在读懂题意的基础上，转化为双曲线问题； ②以定义法求双曲线的方程，这里注意所求方程是双曲线的一支还是两支符合条件； ③再以纯数学解答结果来解释其应用． 重难点解析：双曲线的定义和标准方程与椭圆类似，如，双曲线的标准方程也是从两点间的距离关系推倒出来的．本节在数学思想和方法上没有新内容，在学习中应着重对比双曲线和椭圆的相同点与不同点，特别要注意它们的不同点．