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高三数学模拟试卷（090508）参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D B A C A B D 二、填空题： 11． 12．13． 14． 15．Ⅰ) 采取放回抽样方式，每次从口袋中摸出一个球共有6×6×6=216种方式， 设A、B、C分别表示白球、黄球和黑球 ，从中摸出三个球，三球颜色恰好互不相同的方式有：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA， ∴三球颜色恰好互不相同的概率P= ……………………4分 (Ⅱ) 采取不放回抽样方式，从中摸出三个球，三球颜色恰好互不相同的概率 P= ……………………8分 （Ⅲ）采取不放回抽样方式，从中摸出三个球，设摸得黄球的个数为x 则x的可能取值为0，1，2 P(x=0)= , P(x=1)= P(x=2)= ……………………11分 x 0 1 2 P 0.2 0.6 0.2 ∴ ……………………12分 17．解:（Ⅰ）方法一、在平行四边形中, ∵,,,点为中点. ∴,,从而,即………………1分 又面,面 ∴,而, ∴平面…………………………3分 ∵平面 ∴平面平面……………………………4分 方法二、∵,,,点为中点. ∴,,，∴………………1分 又面,面，∴,而, ∴平面 …3分 ∵平面 ∴平面平面……………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ∴为二面角的平面角,即,…6分 在中,, ,…7分 以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 其中,,,, ,, 设为平面的一个法向量,则,∴ 即 令,得平面的一个法向量,……………………………8分 则, ………………………………………10分 又, ∴, ……………………………11分 ∴, 即……13分 18．解:(Ⅰ)由题可得：，则 ……………2分 ……6分 (Ⅱ)方法一:…11分 当且仅当,即时,取得最大值.…………… 13分 方法二: ……………………11分 当且仅当,即时取等号,取得最大值.此时.…13分 方法三:设 ………………………8分 …………………………………9分 令得 当时,,当时,. ∴当时,取得最大值.此时.………………………13分 19．解: (Ⅰ)方法一、由知,设, ………1分 因在抛物线上,故…① 又,则……②, 由①②解得,.………4分 椭圆的两个焦点,,点椭圆上, 由椭圆定义得： ……5分 ∴,又,∴, ∴椭圆的方程为. ………7分 方法二、由知,设,因在抛物线上,故…① 又,则……②, 由①②解得,. ………4分 而点椭圆上,故有即…③, 又,则…④ 由③④可解得,,∴椭圆的方程为.………………7分 (Ⅱ)设,, 由可得:,即…9分 由可得:,即 ⑤⑦得: ⑥⑧得: ……11分 两式相加得 ……………12分 又点在圆上，且,所以, 即, ∴点总在定直线上. ………………………13分 20．解：（Ⅰ）由，得 则 ………………2分 ，∴当时，；当时，， ∴当时，取得最大值． ……………………………4分 （Ⅱ）由题意知，即…5分 ∴ ……6分 检验知、时，结论也成立，故. ……………………………7分 所以，令，则， 由（Ⅰ）可知， . ∴对任意的，不等式成立. ……………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有 ．10分 令， 则…12分 则．∴原不等式成立．……14分 21．（1）解：MN=， ……………2分 ， ……………5分 ∴可知O，A，B三点在矩阵MN作用下变换所得的点分别为(2,0), ∴可得Δ面积为1. ……………7分 (2) 解：在极坐标系中,和极轴垂直且相交的直线与圆相交于、两点, ∵,∴圆心O到直线的距离为 ……………4分 ∴所求直线的极坐标方程为：.……………7分 （3）解：∵……………2分 ∴由绝对值不等式性质可知：……………3分 ∵不等式对任意实数均成立 ∴ ……………5分 ∴实数的取值范围为……………7分 1 A E D C B A1 B1 C1 x y z …⑧ …⑦ …⑥ …⑤