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期末复习题（2010.6） 一、多元函数微分学 1．填空题： （1）设则 （2）设则 （3）曲面在点处的法线方程是 . （4）设由方程所确定,则 （5）设，，，则1) ；2)在 方向上，方向导数有最大值；3) 在 方向上，方向导数有最小值；4) 在 方向上，方向导数为0；5)函数在点的梯度 . 答案：（1）；（2）；（3）； （4）；（5） 2．设,其中有二阶连续偏导数,有二阶导数，求. 3．设其中为可导函数，求 4．（04年，数二）设其中具有连续二阶偏导数，求 5．设求 6．设而是由方程所确定的的函数，求 7．过直线作曲面的切平面，求此切平面的方程． 二、多元函数积分学 1．填空题 （1）设则 （2）交换积分次序: . （3）设是由与直线所围成的在第一象限内的部分. 为连续函数,则在极坐标系下的二次积分为________. 答案：（1）4；（2）；（3）。 2．计算其中由所围成.（） 3．设是由和围成，求. () 4．计算 其中是由及所围成的区域 5．计算 其中是由锥面和球面所围成的区域. 6．求平面曲线的方程使曲边梯形绕轴旋转形成的旋转体的重心坐标等于点横坐标的其中曲边梯形顶点的坐标依次为　（） 7．计算其中由和所围成的区域，为连续函数.（） 8．求其中（=0） 9．设向量场封闭曲面，为正数．求从曲面内穿出的通量.（） 10．计算 为圆柱面与平面的交线,从轴正向看去为顺时针方向.（） 11．设有一柱面螺线上任一点处的线密度的大小等于该点向径模的平方，求这一曲线的质量.（） 12．计算其中是上半圆周取逆时针方向,由到. 13．计算其中是圆锥面被圆柱面割下的部分. () 14．计算其中是球面的下半部分的下侧. (). 15.计算曲面积分：,其中为曲面被平面所截下部分的下侧.() 16．设连续，连续，且为L所围成的圆域，计算（） 17．（07数一）计算曲面积分,其中是曲面的上侧.() 三、无穷级数 1．判别下列正项级数的敛散性 （发散）　　　（发散）　 （收敛） 　　（收敛） 2．判别下列正项级数的敛散性 （收敛） 　 （发散） 3．判别下列级数的敛散性． 　　　　 　　　　　 （i）当时，收敛；（ii）当时，发散； （iii）当时原级数为的敛散性要进一步判定． 4．判别级数的敛散性． 答案：（i）当时，绝对收敛；（ii）当时，发散；（iii）当时，条件收敛． 5．判别级数的敛散性（包括条件收敛或绝对收敛）（绝对收敛） 6．例7讨论级数的敛散性． （I）当时原级数绝对收敛；（II）当时原级数发散；（III）当时，而绝对收敛，条件收敛． 7．判别级数的敛散性．（收敛） 8． 设正项数列单调减少，且发散，试问级数是否收敛？并说明理由． 9． 设偶函数的二阶导数在的某个邻域内连续,且.试证级数收敛. 10. 求幂级数的和函数。（，） 11．把下列函数展开成的幂级数： (1); (2) 答案：（1） ， （2） 12．将展成余弦级数，并求. 答案： ，令，则 . 四、微分方程 1．填空题 （1）方程的通解为 . （2）以为通解的二阶常系数齐次线性微分方程是 . （3）求方程的特解时，其特解应设为 . （4）设方程的三个特解是，则此方程的通解为 . 答案：(1) (2) ; (3) ; (4) . 2．求下列方程的通解： （1） （2） 答案： (1) ; (2) 3．验证：方程为全微分方程，并求其通解.（） 4．求的特解.（） 5．设具有连续的二阶导数,且,求.（） 6．求时的特解.（） 7．已知某曲线经过点（1，1），它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.（） 8．设可导函数满足求. (） 9．已知曲线积分与路径无关，且试求曲线积分的值. （ ） 10．已知函数具有连续的导数，曲线积分与路径无关， 且，试求.（ ） 11.(07年,数四)设函数具有连续的一阶导数,且满足,求的表达式.（） 5