5.5多元线性回归中的假设检验和预测.docVIP

§5.5 多元线性回归中的假设检验和预测 线性回归的显著性检验 问题：对于模型（5.4-3） ， 要检验自变量与因变量之间是否显著地具有这种线性联系，做法如下 （1）在模型上作假设 由组观察值对假设是否成立进行判断，接受则认为，，即与无关，线性回归不显著；拒绝则认为线性回归显著。 （2）找出检验统计量 ①先做平方和分解 总离差平方和为，（即），取（经验回归平面上对应于第i次观测点处的y值），则 其中 步骤（*）的推导：由（5.4-7）式得 从而（*）前的各项均为0. 于是 记称为剩余（残差）平方和；称为回归平方和。则有平方和分解 其中是由引起的；是由线性回归引起的。 ②构造成立时的检验统计量 由定理4.4.2知， 其中为回归参数的个数。 当成立时，，于是且相互独立，. 故有 由抽样分布定理知 由（5.5-3）、（5.5-4）、（5.5-5）及分解定理知 且相互独立，则 其中，. 即 以为检验统计量。 ③值的计算 ，故 ，从而 （3）给定，确定拒绝域 无论回归显著与否，不变； 回归越显著时，越小，就越大，从而也就越大。 故应在值偏大时拒绝，认为回归显著。即：给定显著水平后，取拒绝域为 （4）列方差分析表 来源 平方和 自由度 均方离差 F 显著性 回归 剩余 总和 p n-p-1 n-1 例5.5-1（续例5.4-1）取，检验线性回归的显著性。 解：假设 MATLAB程序 x1=[152 183 171 165 158 161 149 158 170 153 164 190 185]; x2=[50 20 20 30 30 50 60 50 40 55 40 40 20]; x=[ones(1,13);x1;x2]; y=[120 141 124 126 117 125 123 125 132 123 132 155 147]; b=inv(x*x)*x*y； qt=(13-1)*var(y) qs=(y-x*b)*(y-x*b) qh=qt-qs n=13;p=2;f=(qh/p)/(qs/(n-p-1)) qt = 1512 qs = 81.4301 qh = 1.4306e+003 f = 87.8404 查表知拒绝域的临界值，故有 来源 平方和 自由度 均方离差 F 显著性 回归 剩余 总和 P=2 n-p-1=10 n-1=12 显著 即在人的身高相等的条件下，其血压与体重，年龄得线性回归显著。 回归系数的显著性检验 问题：当拒绝时，认为回归显著，即回归系数不全为0。那么是否每个自变量都对起作用？因此需要检验是否显著为0. （1）在模型上作假设 （2）寻找检验统计量 由定理5.4.3知 其中 是矩阵 的第个主对角元素。 当成立时， 以为检验统计量。 （3）给定，确定拒绝域 当成立时，其估计值应该很接近0，故取拒绝域为 注：要对进行次检验。回归系数检验表 j 变量 显著性 1 2 p 例5.5.2（续例5.5.1） MATLAB程序 c=inv(x*x); for j=1:2 t(j)=b(j)/sqrt((qs/(n-p-1))*c(j+1,j+1)); end t t = -718.1760 12.8380 j 变量 显著性 1 2 1.0683 0.4002 -718.1760 12.8380 显著 显著 即在人的身高相等的条件下，体重与年龄均对血压起作用。 多重相关系数的另一表达式 故有 说明：越接近1，回归引起的离差平方和占总离差平方和的比率越大，表示回归模型与子样（试验值）拟合得好,即模型合理。 （事实上，上述matlab命令的使用，只是为了便于说明多元线性回归的思想方法，如果只为求解一个具体问题，使用regress命令会更高效。 例5.5.1的matlab求解 x1=[152 183 171 165 158 161 149 158 170 153 164 190 185]; x2=[50 20 20 30 30 50 60 50 40 55 40 40 20]; x=[ones(1,13);x1;x2]; y=[120 141 124 126 117 125 123 125 132 123 132 155 147]; [b,bint,e,eint,stats]=regress(y,x)