第四章幂指对函数---函数的图象变换(第2课时).docVIP

课题 4.1函数的图象变换 教学目标 掌握函数描点作图法； 掌握函数图象的常用变换方法：平移变换、对称变换、翻转变换、伸缩变换。 重点难点 重点：描点作图法。 难点：函数图象的常用变换方法。 教学过程 数的图像 设函数y=f(x)的定义域为A，那么在乎面直角坐标系内的点集C={(x,y)∣y=f(x),x∈A}就称为函数y=f(x)的图像． 函数的图像可以是直线(如正比例函数、一次函数图像)，可以是抛物线(如二次函数)、双曲线(反比例函数)或其他曲线，也可以是一些离散的点或一些线段． 关于函数的图像的作法 描点法作图 如果y=f(x)是解析式，可用以下描点法步骤作图： ①列表，列表给出自变量与函数的一些对应值． ②描点，以表中的对应值为坐标，在直角坐标平面内描出相应的点． ③联线，按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线联结起来，所得曲线即为函数y=f(x)的图像． 2．函数的图像的变换 （1）平移变换 例1 (1)说明这三个函数图像间的关系； (2)在同一坐标系中作出函数y=f(x)、y=g(x)、y=h(x)的图像； (3)由所作函数图像判断入的奇偶性、单调性． 分析：从y=f(x)和y=g(x)的函数关系式中可发现： 函数y=f(x)的图像上的点(1，1), 与函数y=g(x)的图像上的点 (3，1), 具有相同的纵坐标．一般地 解：(1)函数y=f(x)的图像上的任意一点与函数y=g(x)图像上的点 相对应，即将点P向右平移2个单位就与点P/重合． 所以，将函数y=f(x)的图像向右平移2个单位就是函数y=g(x)的图像． 一般地： 10左右平移：将函数y=f(x)的图像向左(或向右)平移h个单位(h0)后得到函数y=f(x+h)和y=f(x-h)的图像． 将 整理变形，得. 函数y=g(x)的图像上的任意一点与函数y=h(x)的图像上的点相对应，即将点Q向上平移1个单位就与点Q/重合． 所以，将函数y=g(x)的图像向上平移1个单位就是函数y＝h(x)的图像． 将函数y=f(x)的图像向右平移2个单位就是函数y=g(x)的图像，将函数y=g(x)的图像向上平移1个单位就是函数y=h(x)的图像． 一般地： 20上下平移：将函数y=f(x)的图像向上或向下平移是k个单位(k0)后得到函数y=f(x)+k和y=f(x)-k的图像． (2)由于函数是奇函数，列出x0时函数的对应值表(表3) x … 0.5 1 2 4 … f(x) … 2 1 0.5 0.25 … 作出函数y=f(x)的图像，根据(1)中研究得出的函数图像关系，作出y=g(x)、y=h(x)的图像(图4—3) ． (3)观察图4—3，可知函数y=h(x)是非奇非偶函数，在(–∞，2)和(2，+∞)上单调递减． 练习：作出函数的图象。 解：函数的定义域是。 当时，，如图49-2。函数的图象由双曲线向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到。 (2) 对称变换 作函数的大致图像。 函数的大致图像俗称草图，着重刻画函数图像的主要特征。 解 函数的定义域为 (一∞，一1)∪(一l，1) ∪(1，+∞)． 又，故f(x)为偶函数，它的图像关于y轴对称． 作图时，可先作大致图像，再作的大致图像，然后利用对称性，作x0部分的大致图像(图4—5)． 一般地： 函数y=f(x)的图像与函数y=--f(x)、y=f(-x)、y=-f(-x)关于x轴、y轴、原点对称． (3) 翻转变换 将函数y=f(x) 的图像在x轴上方的部分不变，下方的部分翻转到x轴上方得到y=∣f(x) ∣的图象。 将函数y=f(x) 的图像在y轴右方的部分不变，左方的部分的图象由右方的图象沿y轴翻转，得y=f(∣x∣)的图象。 *(4) 伸缩变换 横向伸缩(纵坐标不变)：将函数y=f(x)的图像上所有点的横坐标缩短(ω1)或伸长(oω1)到原来的倍得到函数y=f(ωx)的图像． 纵向伸缩(横坐标不变)：将函数y=f(x)的图像上所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍后得到函数y=Af(x)的图像． 例3试求函数f(x) =x3+x的零点， (1)试求函数y=f(x)的零点，并作出图像； (2)是否存在自然数n，使f(n)=1 000，若存在，求出n；若不存在，请说明理由． 解 (1)函数的定义域为R． 由x3+x＝0，得 x(x2+1)＝0，x=0． 所以，函数y=f(x)的零点为x＝0． 从函数运算看，f(x) =x3+x可作为两个幂函数y=x3和y=x的和函数． 由y=x3和y=x的定义域、奇偶性、单调性，可知f(x)为奇函数，在R上是递增函数，由函数的和的定义可得f(x)的图像如图所示． (2)由计算，得f(9)=738，f( (10)＝1 010．由函