经济应用数学 矩阵行列式.pptVIP

我们一起来看一下书上的例7，例8，例9,例10？ 乘法的一个定理 由第一章行列式计算的基本型可知 证: 记2n阶行列式 对于n阶矩阵A、B,一般AB≠BA,但 9.3.5矩阵乘积的行列式 跟行列式中的数乘行列式不一样呀 数乘的一个定理 正确吗 例如: 设 则 成立吗 设A B为同型方阵， 例 例: 设 且 求 解: E为多少阶方阵呀 例 设 解 求 * * 利用消元法可以得到： 这就是二元线性方程组的公式解，但是非常不易记忆，为了便于记忆，需引进新的记号 9.3 矩阵行列式 9.3.1 二阶行列式 引进记号： 并规定： 例如： 称 为二阶行列式， 主对角线 副对角线 根据二阶行列式的定义，公式解中的分子可以有记号： 于是当 时上述方程组有简洁公式解为： 主对角线上的乘积－副对角线上的乘积 例：求解线性方程组 解： 因为二阶行列式 并且 所以 9.3.2 n阶行列式按行(列)展开 由于二阶行列式可直接写出，因而计算行列式中一个常用方法就是把高阶行列式归化为低阶行列式。 余子式，代数余子式 在n阶行列式 中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij； 而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式. 返回 定义 例如 例 求出行列式 解: 行列式按一行（列）展开定理 n阶行列式 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 定理 利用行列式按一行(列)展开，可将n阶行列式化为n个n－1阶行列式，若选取的行(列)只有个别数不为零，就可达到降阶化简的目的。 所以通常先利用行列式的性质使得某一行(列)含有较多的零，并选取含0元素比较多的行或者列来展开。 1 1 2 1 -3 1 -2 0 0 0 ?1 0 3 4 1 4 计算行列式 例 1 1 1 3 4 4 -3 1 0 ＝ (-1) (－1)2+4 别丢了代数余子式的符号 例 计算行列式 解 通常选取含0元素比较多的行或者列来展开 ＝－2+8＝6 上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积，因此计算行列式常利用行列式的性质，把行列式化成上（下）三角行列式。 这是计算行列式最基本 的方法必须掌握 注意 9.3.3 行列式的性质 行列式计算是本节的中心课题。 按照定义，n阶行列式是n！项的代数和，而在n较大时n！就变成一个很庞大的数据，从定义出发计算上、下三角等一些特殊的行列式有公式，而对一般行列式的计算则需要借助于行列式的一些性质，以简化行列式的计算。 首先引入转置行列式的概念， 考虑 称DT为D的转置行列式 . 将它的行依次变为相应的列（行、列互换），得DT， D=DT (行列互换，行列式的值不变） 即 证：事实上，若记 性质1 取行指标为标准排列 取列指标为标准排列 性质1的意义何在呀？ 行列式的行与列地位平等，因而后面 对行成立的性质，对列也成立。 矩阵可以有如下定义: 行列式的两行（列）互换，行列式的值变号 ， 性质2 即 ＝－ 行列式若有两行（列）对应元素完全相同，则行列式为零. 推论1 证： 设行列式D 的i行和k行相同，则若将i行和k行互换，所得仍为D。但是由性质2知，互换前后变号，即D＝－D，所以，D＝0。 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 k，等于数k乘以此行列式，换言之， 行列式某一行(列)所有元素的公因子k可提到行列式的外面相乘，即 性质3 若行列式中一行(列)所有元素为零，则行列式等于零； 推论2 即为性质3中k＝0的情况 如果行列式的两行（列）元素对应成比例，则行列式为零。 性质4 ＝ ＝ ＝0 例 计算行列式 例 已知 求： 解 (分行列相加性） 性质5 推论3 行列式的某一行（列）加上另一行（列）对应元素的k倍，行列式的值不变 ， 性质6 即 k倍 ＝ 注: 交换i? j两行记作Rij? 交换i? j两列记作Cij? 以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上? 记作Ri?kRj (Ci?kCj) ? 为了书写方便，特作如下约定： 2 ?1 ?4 3 ?1 1 ?3 3 1 1 0 ?5 3 1 2 ?1 ?5 1 ?4 3 2 0 ?1 1 1 ?5 ?3 3 例 计算 ? 解： 3