复件 第3讲 圆的方程.docVIP

第3讲 圆的方程 ★知识梳理★ 1. 圆的标准方程与一般方程 ①圆的标准方程为，其中圆心为,半径为r； ②圆的一般方程为，圆心坐标，半径为。方程表示圆的充要条件是 2.以为直径端点的圆方程为 3. 若圆与轴相切，则;若圆与轴相切，则 4. 若圆关于轴对称，则； 若圆关于轴对称，则； 若圆关于轴对称，则； 5、点与圆的位置关系： 在圆内 在圆上 在圆外 ★重难点突破★ 重点: 掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程和圆的一般方程, 难点:根据已知条件,求圆的方程 重难点:围绕圆的几何性质进行合理转化,运用方程思想列出关于参数：(或)得到方程组,进而求出圆的方程 1.充分利用圆的几何性质解题 圆上的动点到已知直线（或点）的距离的最大值和最小值，转化为圆心到已知直线（或点）的距离来处理 问题1：已知圆和点，点P在圆上，求面积的最小值 点拔:圆心(4,3)到直线的距离为,P到直线的距离的最小值为，求面积的最小值为 2.运用转化的思想处理圆的对称问题 问题2:圆关于直线对称，则 点拨：圆关于直线对称的实质是圆心在直线上，因此可将圆心坐标代入直线方程解决 解析： 问题3:圆关于直线的对称圆的方程为 点拨：两圆和关于直线对称，可以转化为点对称问题（即圆心和关于直线对称且半径相等），也可以用相关点法来处理，后一种方法更有推广价值 解析：方法1：原点关于直线的对称点为（1，1），所以圆关于直线的对称圆的方程为 方法2：设是圆上一动点，它关于直线的对称点为， 则 在圆， 圆关于直线的对称圆的方程为 ★热点考点题型探析★ 考点1 圆的方程 题型1: 对圆的方程的认识 [例1 ]设方程x2+y2－2(m+3)x+2(1－4m2)y+16m4+9=0。 （1）当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆。 （2）当m在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。 （3）求圆心的轨迹方程 [解析]（1）由得：， 化简得：，解得：。 所以当时，该方程表示一个圆。 （2）r==,当 时， （3）设圆心，则，消去得 所求的轨迹方程为 【名师指引】（1）已知圆的一般方程,要能熟练求出圆心坐标、半径及掌握方程表示圆的条件；（2）第3问求圆心的轨迹方程，使用了参数法，即把x,y都表示成m的函数，消去参数可得到方程，用此法要注意变量x,y的范围 题型2: 求圆的方程 [例2]（1）求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0 上的圆的方程； （2）求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程。 【解题思路】根据条件，列方程组求参数 [解析]（1）设圆心,则有 ，所求圆的方程为 （2）采用一般式，设圆的方程为，将三个已知点的坐标代入得，解得： 故所求圆的方程为 【名师指引】(1)求圆的方程必须满足三个独立条件方可求解，选择方程的形式，合理列出方程组是关键，(2)当条件与圆心、半径有关时常选择标准方程，当条件是圆经过三个点时，常选用一般方程 【新题导练】 1.若，方程表示的圆的个数为（ ）. A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 解析:B 得，满足条件的只有一个，方程表示的圆的个数为1. 2. ( 广州六中2008-2009学年度高三期中考试) 若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为（ ） A．-2或2 B． C．2或0 D．-2或0 解析: C 圆的圆心为（1，2），或2 3.与两坐标轴都相切，且过点（2，1）的圆的方程为 [解析] 或 4.动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，那么点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. [解析]B 设，则，化简得 考点2 圆的几何性质 题型1：运用圆的几何性质解题 [例3 ]一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程. 【解题思路】因题目条件与圆心、半径关系密切，选择圆的标准方程，与弦长有关的问题，一般要利用弦心距、半径、半弦长构成的“特征三角形” [解析]：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为 （x－3b）2+（y－b）2=9b2. 又因为直线y=x截圆得弦长为2， 则有（）2+（）2=9b2， 解得b=±1.故所求圆方程为 （x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9. 【名师指引】在求圆的方程时，应当注意以下几点： （1）确定用圆的标准方程还是一般方程； （2）运用圆的几何性质（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；