矩阵分析理论的基础知识4787322627.pptVIP

第一章 §1 线性空间和度量空间 §2 线性空间与内积空间的同构 §3 线性变换 §4 线性变换的矩阵表示 练习： §5 不变子空间与点到子空间的距离 一、矩阵的基本概念 1.称 为 阶矩阵，其中 若m n，称为n阶方阵 2.主对角线以外的元素全为0的矩阵，称为对角矩阵，记 3.若 ，则称 为单位矩阵， 记为 或 若 ，则 称为数量矩阵. 4.若 ，当 ，称A为下三角矩阵（或严格下三角矩阵）。 5.若 ，称A为上三角矩阵。 ，称A为严格上三角矩阵。 6.主对角线元素全为1的上（下）三角矩阵称为单位上（下）三角矩阵。 7.若 ，称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵，记为 。 注： 8.设 ，若存在非奇异m阶阵P和n阶阵Q，使B PAQ，则称A与B等价，记为 。 9.由 阶矩阵A的位于第 行,第 列的元素按原来的次序构成的k阶阵，称为A的k阶子阵，相应的行列式称为A的k阶子行列式（子式）。 10.矩阵A的所有非零子式的最高阶数称为A的秩，记为rank A 。 11.设A为 阶阵。若rank A min m,n ,则A为满秩阵。 12.设A为n阶方阵， 为其特征值，记A的行 列式为： ;称 的全体为A的谱，记作 或 。 13.若 ，则A可逆， 存在。称 为A的迹。 14.若 ，称 为A的转置矩 阵，记为 或 若 ，则称 为A的共轭转置矩 阵，记为 或 . 15.若 ，且A为实矩阵则称A为实对称矩阵； 若 , 且A为实矩阵 则称A为实反对称矩阵。 若 ，则A称为厄米特矩阵 Hemite 若 ，则A称为反厄米特矩阵 Hemite 16.若A为实矩阵，且 ，则称A为正交矩阵， 17.若 ，则称A为正规矩阵。 若 ，则称A为酉阵。 1 行列式的模等于1 2 3 酉阵的乘积仍是酉阵 4 每个（行）列向量是单位向量，不同 的两个列（行）向量是酉正交的。 18.若 ，则称A为幂等阵， 若 ，则称A为幂零阵。 19.每行每列，恰有一个元素等于1，其余元素全为0的矩阵，称为排列（置换）矩阵，记为 。 20.若n阶阵A的顺序主子式都大于0，则称A为正定阵。 二、矩阵的基本性质 1. 2.设 ， ，则 3.设A为 矩阵，P,Q分别为m, n阶非奇异阵，则 4. 5.关于实对称阵与Hemite阵共有的性质： ①矩阵的特征值全为实数 ②相异特征值对应的特征向量正交（不同的特征值对应的特征向量正交） ③主对角线上的元素 全为实数。 6.反 Hemite阵的特征值为零式或纯虚数 7.酉阵的特征值的模等于1 三、矩阵的分块 1.把一个矩阵用若干横线，纵线，将其分成小矩阵，从而该矩阵可看成是由一些小矩阵组成的，在运算过程中，把这些小矩阵当成数一样处理，称为矩阵的分块。 例: 2.称 为准对 角矩阵。其中 为 阶方阵，且 结论1.若 其中 与 具有相同的阶数， 则: ① ② ③ ④若 可逆，则 注意：分块时要使运算有意义。 3.称 为分块三角阵。 结论2.若A为分块三角阵，则 的特征值也是A的 特征值，且 的所有特征值即为A的所有特 征值。 一般地，若A为分块矩阵，则可以将A分解为