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求数列的通项公式题型方法归类讲义 一、观察法： 范例：根据数列的前几项，写出它的一个通项公式 （1） （2） 点评：这类数列主要是观察数列中的数与项数的关系，发现规律，写出通项. 二、定义法： 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法.这种方法适用于已知数列类型的题目，此题目是必须掌握的基本运算，一般有“知二求一”的思想. 范例：等差数列是递增数列，前项和为，且成等比数列，求数列 的通项公式. 三、利用和的关系求的通项公式 要点：已知数列的前项和与的关系求数列的通项可用公式 求解. 范例：数列前n项和记为 ， （Ⅰ）求的的通项公式； （Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为且又 成等比数列，求 变式：已知数列的首项为，前项和为，且对任意的，当≥2时，总是与的等差中项．求数列的通项公式。 点评：利用公式求解时，要注意对进行分类讨论，但若能合写时一定要合并.另外，此种方法的原理适合所有多写一项，逐项对齐，两式相减的题目。 四、由递推式求数列通项法 对于递推式确定的数列的求解，通常可以通过地推公式的变换，转化为等差数列或等比数列，有时也用到特殊的转化方法与特殊数列（构造法） 类型1：递推公式为，为可求和的式子. 解法：把原递推公式转化为，利用累加法（逐差相加法）求解 范例：已知数列满足，求 类型2：，为可求乘积的式子 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解 范例：已知数列满足，求. 类型3：递推式：，为非零常数，一般有下列三种情况： ①当为常数时，即 解法：可转化为特殊数列的形式求解.一般地，形如的递推式均可通过待定系数法对常数分解法：设与原式比较系数可得，即，从而得等比数列 范例1：已知数列中，求. 范例2：数列满足，求数列的通项公式 点评：求递推式形如（、为常数）的数列通项，是近年高考考得很多的一种题型 ②当为的一次式时，可转化为特殊数列的形式求解，也可以同除以或转化为前面的类型求解 范例1：设数列：，求 范例2：已知数列和，，且，记 （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列和的通项公式； （3）记，求数列的前项和。 说明：若为的二次式，则可设，利用待定系数法进而求解 变式：已知数列中，，点在直线上，其中 （Ⅰ）令，求证：数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）设分别为数列、的前项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。 ③当时，则递推公式为（其中、均为常数） 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以或转化为前面的类型求解 范例：已知数列满足，求 变式1：已知数列的前项和为正整数. （1）证明：并求数列的通项公式； （2）若，求. 变式2：设数列的前项和为，已知 （Ⅰ）证明：当时，是等比数列； （Ⅱ）求的通项公式 类型4：递推公式为（其中均为常数）。（二阶递推如果在高考中出现，可以不用特征根法，因为不是高考要求，一定能转化成前面一阶递推的形式，只要有整体和转化思想。） 解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为 其中满足（构造一个新的等比数列） 解法二（特征根法）：对于由递推公式给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中由决定（即把和，代入，得到关于的方程组）；当时，数列的通项为，其中由决定（即把和，代入，得到关于的方程组）。 范例：已知数列满足 （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式。 变式：已知数列中，。 （Ⅰ）求使数列成等比数列的的值； （Ⅱ）求数列的通项公式。 : 类型5： 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。 范例：已知数列的首项，，．求的通项公式 变式：已知数列满足：，求数列的通项公式 类型6：（不动点法） 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中均为常数，且），那么，可作特征方程，化为，当特征方程有且只有一个根时，则是等差数列；当特征方程有两个相异的根时，则是等比数列；当特征方程无实数根时，数列为周期数列。 范例1：已知数列满足，，则 。 范例2：已知数列满足：对于，，且，求的通项公式. 变式：数列满足且，记 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前项和