清华大学研究生弹塑性力学讲义 5弹塑性_弹性力学的基本方程与解法.pdfVIP

弹塑性力学 第四章 弹性力学的基本方程与解法 一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件 对于在空间占有体积域 V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起 的小变形问题，若以u, ε , σ 作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程 1 1 εij 2 (ui , j =+u j ,i ) ε 2 (∇u + u∇ ) (1a) 广义胡克定律 σ ij Eijklεkl σ E :=ε (1b) 平衡方程 σ ij , j +f i 0 ∇ ⋅σ + f 0 ∀x ∈ V (1c) 以上方程均要求在域内各点均满足。 边界条件 ui ui ui ∀x ∈S (2a) n σ t ∀x ∈S ti j ji i (2b) 对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。当载荷或边 界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。对于边界条件的提 法就有严格的要求。即要求： ui ti ui ti S US S S IS ∅ (2c) 对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σ λε δ =+ 2Gε σ λtr =ε I + 2Gε (3a) ij kk ij ij ( ) 1 1 εij ⎡(1=+ν )σ ij −νσ kkδ ij ⎤ ε ⎡(1 + ν )σ − ν tr (σ ) I ⎤ (3b) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ E E 以上就域内方程来说，一共是对于u, σ , ε 的 15 个独立分量u , σ , ε 的 15 个 i ij ij 方程。对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上 每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。这三个正交 ⎯ 1 ⎯ 第四章 弹性力学的基本方程与解法 方向可以是整体笛卡儿坐标系的三个方向，也可以是边界自然坐标系的三个方向（即 法向和两个切向）。从更一般来说，除去给定位移或面力外，还有另一种线性的边界条 件 t + K