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不等式讲义.pdf
不等式讲义 第一章 几个重要的不等式 在本章中,我们将介绍平均值不等式,Cauchy 不等式与 Hölder 不等式,Abel 分部求和 公式, 排序不等式与 Chebyshev 不等式. 1.1 平均值不等式 1.1.1 四个常用平均值的大小关系 AM-GM 不等式 若x ,x ,,x 0 ,则 1 2 n x + x + + x 1 2 n ≥ n x x x 1 2 n n 等号当且仅当x1 = x 2 = = xn 时成立. x + x + + x 证明: 设x = 1 2 n .若存在x ≠ x ,则存在x ,x ,使得x x x ,否则与x 的 l i j i j n 定义矛盾. 令x = x ,x = x + x − x ,则 . x + x = x + x ,x , x 0 i j i j i j i j i j 因 为 x − x ,x − x 0 , 所 以 x ⋅ x = x (x + x − x ) = x ⋅ x + (x − x )(x − x ) 0 , 即 i j i j i j i j j i x ⋅ x x ⋅ x . i j i j 所以在变换x = x ,x = x + x − x 下,不等式左边的值保持不变,同时右边的值增大.反 i j i j 复进行类似变换.显然这样的变换只能进行有限次.当x1 = x 2 = = xn 时,右边等于左边.所 以原不等式成立. GM-HM 不等式 若x ,x ,,x 0 ,则 1 2 n n n x x x
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