清华高等代数讲义(上)1.pdfVIP

第一学期第一次课第一学期第一次课 第一学期第一次课第一学期第一次课 第一章第一章 代数学的经典课题代数学的经典课题 第一章第一章 代数学的经典课题代数学的经典课题 §§1 若干准备知识若干准备知识 §§ 若干准备知识若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念代数系统的概念 代数系统的概念代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则， 则称这样的一个体系为一个代数系统代数系统。 代数系统代数系统 1.1.2 数域的定义数域的定义 数域的定义数域的定义 定义定义 （数域） 设K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数， 定义定义 且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等 于b ），必有a ± b ∈ K ，ab ∈ K ，且当b ≠ 0时，a / b ∈ K ，则称K 为一个数域数域。 数域数域 例例 1.1 典型的数域举例： 复数域 C ；实数域R ；有理数域Q；Gauss 数域：Q (i) = { a + b i 例例 | a,b ∈Q}，其中 i = − 1 。 命题命题 任意数域 K 都包括有理数域 Q。 命题命题 证明证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素a ∈ K ，且a ≠ 0 。于是 证明证明 a 0 = a − a ∈ K ， 1= ∈ K 。 a 进而∀m ∈Z 0 , m = 1+ 1+ ……+ 1∈ K 。 m m m 最后，∀m, n ∈Z ，， ∈ K ，，− = 0 − ∈ K 。这就证明了Q ⊆ K 。证毕。。 0 ，， ，， 。。 n n n 1.1.3 集合的运算，集合的运算，集合的映射集合的映射（（像与原像像与原像、、单射单射、、满射满射、、双射双射））的概念的概念 集合的运算集合的运算，，集合的映射集合的映射 （（像与原像像与原像、、单射单射、、满射满射、、双射双射））的概念的概念 定义定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的 定义定义 交集，记作交集 A ∩ B ；把A 和 B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集并集，记做 交集交集 并集并集 A ∪ B ；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集差集， 差集差集 记做A \ B 。 定义（集合的映射） 设定义 A 、B 为集合。如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则 定义定义 f 下对应B 中唯一确定的元素（记做(f )a ），则称f 是A 到B 的一个映射映射，记为