函数的综合复习运用.docVIP

函 数 的 综 合 应 用 【复习目标】 1.函数的综合问题主要体现在函数与方程、不等式、数列、向量、导数、解析几何、立体几何、函数与实际问题上,要综合应用函数的知识、思想和方法解决此类问题; 2.提升分析和解决问题的能力及综合应用能力. 【例题选讲】 1.已知集合A＝{x||x―a|＜ax，a＞0(，若函数 （）是单调函数，求a的取值范围. 解：|x―a|＜ax( 对于（*）当时；当时 ∴当时原不等式解集为；当时解集为. ，当时显然不单调。 的单调区间为和 而，故即： ∴ 2.定义在R上的函数f (x)满足:如果对任意x1,x2∈R,都有,则函数f (x)是R上的凹函数.已知二次函数f (x)=ax2+x(a∈R,≠0). ⑴求证:当a＞0时,函数f (x)是凹函数; ⑵如果x∈[0,1]时,| f (x)|≤1,试求实数a的取值范围. 解:⑴对任意x1,x2∈R, a＞0. ∴ = ∴.故f (x)是凹函数. ⑵| f (x)|≤1(-1≤f (x)≤1(-1≤ax2+x≤1① 当x=0时, a∈R; 当x∈(0,1]时, ①即恒成立, 即()恒成立(-2≤a＜0. 3.函数是定义在［0，1］上的增函数，满足且，在每个区间（1，2……）上，的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分． ⑴及，的值，并归纳出的表达式; ⑵直线，，x轴及的图象围成的矩形的面积为（1，2……），记，求的表达式，并写出其定义域和最小值． 解:（１）为了求，只需在条件中，令，即有 　　　　　　，得． 由及，得． 同理，． 归纳得． （２）时, . 故　是首项为，公比为的等比数列, 所以　. 的定义域为1，当时取得最小值. 【达标训练】 1.已知函数内是减函数,则实数a的取值范围是A． B． C． D．（0，1） 2.已知抛物线y=x2-1上一点A(-1,0)和两动点P、Q,当PA⊥PQ时,点Q的横坐标的取值范围是 A.(-∞,-3] B.[1,+∞) C.(-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 3.函数f (x)=, 若abc0, 则, , 的大小关系是 A. B. C. D. 4.设函数f（x）是定义域为R的函数，且f（x+2）[1-f（x）] = 1+f（x），又f（2） = 2 + ，则f（2006）=___________________ . 5.某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，贷款的利率为6%.若存款的利率为，且银行吸收的存款能全部放贷出去,则存款利率定为_____时，银行可获得最大收益. 6.（理）的最大值不大于，又当 （1）求a的值； （2）设 分析： （1）解：由于的最大值不大于所以 ① ………………3分 又所以. ② 由①②得………………6分 （2）证法一：（i）当n=1时，，不等式成立； 因时不等式也成立. （ii）假设时，不等式成立，因为的 对称轴为知为增函数，所以由得 ………………8分 于是有 所以当n=k+1时，不等式也成立. 根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立. 证法二：（i）当n=1时，，不等式成立； （ii）假设时不等式成立，即，则当n=k+1时， 因所以 于是 因此当n=k+1时，不等式也成立. 根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立. 证法三：（i）当n=1时，不等式成立； （ii）假设时. 若则 ① （下略）。 (文)(略) 7.某水库年初的存水量为a（a≥10000），其中污染物的含量为P0，该年每月降入水库的水 量与月份x的关系是（1≤x≤12，x∈N），且每月流入水库的污水量r， 其中污染物的含量为P（P＜r），又每月库水的蒸发量也为r（假设水与污染物能充分混合， 且污染物不蒸发，该年水库中的水不作它用）. （1）求第x个月水库含污比g(x)的表达式（含污比）； （2）当P0=0时，求水质最差的月份及此月份的含污比. 解：（1）第x月水库含污染物P0+Px，库容总量= 当 此时库容量=a+14+15+…+（13+x）= 当 此时，库容总量= a+99+20+19+…+（27－x）= ∴ （2）∵P0=0，a≥10000，当1≤x≤6时， 易证上是减函数，且恒大于零， ∴上是增函数