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“导数在研究函数中的应用”教学案例 嵊州市三界中学 黄建军 导言：高中数学内容抽象，推理严谨，应用广泛，难教难学，已成为横跨在相当一部分学子面前一道难以逾越的“坎”，不少学生不免谈“数”色变，敬而远之，乃至发出数学在时时“我们”的惊叹!笔者中学数学的课堂教学与教学研究，探索从数学的与特点出发，善于用数学的思想与方法驾驭数学知识. 求单调区间；（2）的极值. 学生1（板演）：解：（1） 令得：或；令得： 的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）由（1）可知，当时，有极大值；当时，有极小值. 教师：你能根据已经解决的两个问题，画出的大致图象吗？ 学生众：能！ 教师：请画出的大致图象（一名学生到黑板上画） 教师：请大家对这位同学画的图与屏幕上“几何画板”画的图作一下比较（对学生画的图的评价略） 教师：从的图象看，在上有无最大值、最小值？ 学生2：由于的图象无最高点、最低点，所以在上无最大值、最小值. 教师：很好.如果将定义域限制在闭区间上呢？ 学生3：在闭区间上必有最大值和最小值. 教师：为什么？ 学生3：是可导函数，在闭区间上连续，所以必有最大值和最小值. 教师：不错，这位同学的基本功很扎实.现在请同学们解决问题2. 问题2 求函数，的最大值、最小值. 学生4（板演）：在问题1的基础上，列表如下： 0 （0，） （，2） 2 （2，） 4 0 0 0 ↗ ↘ 0 ↗ . 学生3：利用的图象可以直接求出的无最大值、最小值. 教师：太棒了！学生4从数的角度解决了问题2，学生3从形的角度解决了问题2.如果把这两位同学结合起来，也就是把数跟形结合起来了.学生4采用了表格，不仅单调性表示得很清楚，而且最大值、最小值也很明显，真可谓是“一举两得”；而学生3采用图象，让我们从直观上看到函数增减性很最值，可谓是各有千秋啊！他们的共同点是：简洁明了. 教师：力求简约，追求卓越，是数学的一大魅力.数学实际上很美，只是我们缺少了审美的眼光！有人说数学是无声的诗、立体的画，而我个人认为数学如同音乐般美丽，可以说“音乐是感性的数学，数学乃理性的音乐”，你听说过吗？ 学生众：没有！ 教师：要学好数学、玩好数学，我们需要一双慧眼，去努力发掘蕴涵数学之中的美——如图形美、结构美、对称美、简洁美、和谐美等等，要学会处处体验数学的自然、简约与美好！ 教师：问题1与问题2说明利用导数可以研究函数的哪些性质？如何研究？ 学生众：其一，求函数的单调区间；其二，求函数的极值；其三，求函数的最值.（方法从略） 教师：这三类问题是利用导数研究的主要问题，刚才同学们归纳得相当不错，表明大家对导数的应用有了较深刻的认识. 教师：学数学如果到这里就停下来，那你肯定称不上是一个数学“高手”，至少你是一个学数学很累的人！那么怎样才能学好数学？——我们不仅要掌握数学的知识，而且更要增强用数学思维去理解、思考与解决问题的意识！ 下面我们将问题1、2进行变式，首先将的解析式中的一次项系数改为，就成为含参数的函数了，得到如下的变式1，请同学们思考. 2 变式练习：知识迁移，触类旁通 变式1 已知函数在（1，2）上为减函数，在（2，）上为增函数，求实数的值. 学生5：，由已知，是的极小值点，所以，得. 教师：这样做有没有缺陷？ 学生3：还要检验，不过经过检验室符合的. 教师：很好，如果去掉“在（2，）上为增函数”这一条件，结论如何呢？ 学生众(经过思考、讨论)：由已知，对恒成立，所以，解得. 教师：我们暂时把这个问题搁置一下，来研究函数在上的单调性与其导函数的关系. 学生：，所以函数在上是减函数. 教师：回头看前面的解法有无问题？ 学生1：有点小问题.应该是对恒成立，下同. 学生2：我还有一种解法.由前面的解法，得对恒成立，而当 时，，所以. 教师：已知含参数的函数在某区间上是增（减）函数，求参数的范围问题，通常利用“若是非常数函数，且为可导函数，则在某区间上是增（减）函数某区间上恒有”.转化为含有参数的不等式恒成立问题，学生1利用了二次函数的图象的性质，学生2利用了参数分离法，都是常用的方法.再来解决变式2. 变式2 已知函数在处有极小值，求的值. 学生6（板演）：.令，得或.由已知 .是函数的极小值点，. 教师：变式2是问题2第（2）小题的逆向问题：已知含参数的函数的极值点，求参数问题.请同学们归纳解决的策略. 学生7：利用“可导函数在点处有极值的必要条件是”得到关于参数的方程，解出方程的根，再检验. 教师：完全正确，再来解决变式3. 变式3 设函数，是否有“对任意不等式恒成立.”请说明理由. 学生3：由问题3知，在上的最大值为，最小值为0，所以对任意恒有. 教师：这种方法