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第十章 数学问题及其教学 学习要点 数学问题概述 数学问题的教学过程 小学数学开放题及其教学 前言 问题是数学的心脏（哈尔莫斯） ──数学是由一系列的问题构成的，整个数学学习的过程都应是数学问题的提出与解决过程 思维过程最初的时刻通常是问题情境（鲁宾斯坦《普通心理学原理》） ──数学问题是学生开展数学活动的支点 学数学首先应 “做数学”（华罗庚） ──“做数学”既是数学学习的手段，也是数学学习的目的 一、数学问题概述 （一）“问题”的涵义： 思考与讨论： “问题”既是一个科学概念，也是一个常用的日常概念，谈谈你理解的“问题”的涵义是怎样的？ 《心理学大辞典》（林崇德主编）：在给定状态与目标状态之间存在某些障碍，需要加以克服的任务情境。（上海教育出版社，2003年版， 1314页） 杜威的图解 比格：学生们亲身参加进去，因而体验到紧张，这是真正的学习问题的本质。决定他这种感觉的强烈程度至少有三个因素：（1）目标值得向往的程度,（2）障碍的显而易见程度,（3）他自己的个性特征。 （《学习的基本理论与教学实践》p413，p419） 问题是指有意识的寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。（波利亚） 可见，对“问题” 涵义的理解要注意以下几点： 问题是一种任务情境 这个任务的完成存在障碍 问题对主体来说是一个相对的概念 （二）“数学问题”的涵义 数学问题是不能用现成的数学经验和方法解决的一种情境状态。（庞维国《数学学习与教学设计》，上海教育出版社，2005年版，p182） 数学问题是一个与数学有关的被意识到但又不能立即达到目的的情境状态。（教材p477） 思考与讨论：根据你的理解，列举你见到的各种各样的数学问题。 （三）数学问题的基本类型 常规问题(封闭式) 与非常规(开放性) 问题 纯数学问题与面向实际生活的问题 面向数学知识形成过程的问题与针对数学知识技能应用的问题 计算题、文字题与应用题 思考与讨论：我们经常做的数学 “习题”属于哪一类数学问题？当前备受数学教育界推崇的“问题解决”中所指的是哪些数学问题? 波利亚《怎样解题》： 已知数─题中所给的数量 未知数─所求的数量 条件─关于已知数和未知数之间关系的表述 奥加涅相《中小学数学教学法》： 初始状态─问题中的条件 最终状态─问题的结论 解─解题的过程 解题的基础─解题的理论依据 一般认为，一个数学问题的结构包括三个基本成分： （1）给定状态：即问题初始状态，表现为一组给定的信息 （2）目标状态：即一个问题求解后所要达到的结果状态 （3）中间状态：即条件所允许采取的求解行动，即可以采取哪些操作方式把数学问题由问题状态转化为目标状态 思考与讨论：这里所说 “求解”的结果是否是一个确定的数值？应怎样理解？ （可以是一个数，一个关系式，也可以是一个方案） 二、解决数学问题的过程 （一）波利亚怎样解题表 弄清问题 画张图。引入适当的符号。 可以思考的问题： 未知数是什么？ 已知数据是什么？ 条件是什么？ 满足条件是否可能？ 要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？ 拟定计划 可以选择的思维策略： 你以前见到过类似的问题吗？能否利用它？怎样利用？ 能否重新叙述这个问题？用不同的方法叙述它？ 回到定义去 如果不能解决所提出的问题，能否解决一个与此有关的更容易解决的问题（更一般、更特殊、类比的、部分的等）？ 是否利用了所有的已知条件？是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？ 实现计划 需要思考的问题 是否清楚地看到每一步骤都是正确的？ 各步骤之间的逻辑关系是否是正确的？ 回顾（验算所得到的解） 能否检验这个论证？ 能否用别的方法导出这个结果？ 能否把这个结果或方法用于其他的问题？ （二）解决数学问题的过程分析 解决问题的过程是人的心智活动过程 1、了解问题情境─认识数学问题 接受问题情境所提供的信息 组织问题情境所提供的信息 注意陌生情境的分析和理解 2、明确问题的条件和目标─把握问题情境的数学本质 将问题的条件和目标从具体情境中分离出来 不要忽视隐蔽的或有潜在意义的条件 明确目标要求 3、寻求解决办法─寻求已知与未知的内在联系 将问题一步步的进行“等效”转化，使已知与未知的距离逐步接近 注重通过间接途径沟通联系 利用所有的显性与隐性的条件 4、求得解答并检验─实现已知与未知的内在联系 计算技能的运用 推理技能的运用 判断答案的合理性 5、回顾反思─对解决问题过程的“评估” 抽象概括方法 改进方法 探寻其他方法 将方法运用到其他问题上 （三）影响数学问题解决的因素 问题情境 背景知识 问题解决策略 元认知 情感与态度 三、解题教学的一般步骤 例题：12元可以买4辆小汽车，小明想买5辆小汽车，