模糊数学2009-6（模糊关系、模糊关系合成）.pptVIP

吉林大学计算机科学与技术学院 模糊数学 第六讲 孙舒杨 Email. sysun@ 聚类分析 所谓聚类分析(clustering)，就是用数学方法对事物进行分类 聚类vs.分类 模糊数学产生之前，聚类分析是数理统计多元分析的一个分支 现实分类问题具有模糊性，例如“环境污染分类”、“岩石分类”等 聚类分析是模糊关系的一个应用 什么是模糊关系？ 3-1 模糊关系的定义和性质 什么是关系？ 学生集合 U={张三，李四，王五} 外语选修课程集合 V={英，法，德，日} R={ (张三, 英), (张三, 法), (李四, 德), (王五, 日), (王五, 英)} 关系——例 U={毛泽东，邓小平，老布什} V={毛岸英，邓朴方，小布什} 父子关系={(毛泽东,毛岸英), （邓小平,邓朴方), (老布什,小布什)} “经典关系”的定义 定义：集合A,B的直积A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}的一个子集R称为A到B的一个二元关系，简称关系 关系——例 设X为横轴，Y为纵轴 直积X×Y是什么？ 其上的普通关系x y是什么？ 关系?模糊关系 “课程选择”、“父子”——明确的关系 客观世界中，并非所有的关系都这么明确 信任关系 喜爱关系 模糊关系的定义 以集合U,V的直积U×V为论域 其上的一个模糊子集R称为U,V的一个模糊关系。若U=V ，则称为“U上的模糊关系R” 其隶属函数为： μR ： U×V ? [0,1] 模糊关系——例1 设X为横轴，Y为纵轴，直积X×Y是整个平面，其上的模糊关系R=“x远大于y”，怎么表示？ 当x-y=1时， R(x,y)=0.0099 当x-y=10时， R(x,y)=0.5 当x-y=100时， R(x,y)=0.99 模糊关系——例2 模糊关系——例2 X={ Ross, Joey, Chandler} Y={ Monica, Phoebe, Rachel} X×Y={(Ross, Monica), (Ross, Phoebe), (Ross, Rachel), (Joey, Monica), (Joey, Phoebe), (Joey, Rachel), (Chandler, Monica), (Chandler, Phoebe), (Chandler, Rachel) } 模糊关系R1: 朋友关系 模糊关系R2: 恋人关系 模糊关系——例3 模糊关系的运算 模糊关系就是模糊子集 唯一特殊之处——论域是直积U×V 模糊关系的运算法则 完全服从模糊集合的运算法则 模糊关系的相等 设R,S都是X×Y上的模糊关系，则 模糊关系的包含 模糊关系的并 模糊关系的交 模糊关系的余 分解定理 λ截关系 3-2 模糊矩阵 模糊关系?模糊矩阵 论域 若论域X×Y是有限集，模糊关系可以表示为模糊矩阵 若论域X×Y是连续或无限的，则该论域上的(模糊)关系不能用(模糊)矩阵来表示 什么是模糊矩阵？ 模糊矩阵的定义 如果对于任意i=1,2,…,m, j=1,2,…,n,都有rij∈[0,1],则称矩阵R=(rij)m×n为模糊矩阵。 若rij∈{0,1}, 则模糊矩阵变成布尔矩阵 模糊矩阵可以表示模糊关系 模糊矩阵－例 U={苹果, 梨, 书, 乒乓球} ，它们的相似程度可以用模糊关系“相似” 来表示，记为R： 请给出下例的模糊矩阵 矩阵与关系 一个模糊矩阵对应着什么？ 一个模糊关系 一个布尔矩阵对应着什么？ 一个普通关系 模糊矩阵与普通矩阵 矩阵元素 模糊矩阵的元素限制在[0,1]上 普通矩阵的元素没有限制 矩阵运算 模糊矩阵的运算完全不同与普通矩阵的运算 模糊矩阵运算是模糊集合的运算 模糊矩阵的相等、包含 设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)，i=1,2,…,m,j=1,2,…,n, 则 (1)相等：A=B ? 对任意i,j 有 aij=bij (2)包含：A?B ? 对任意i,j 有 aij≤bij 模糊矩阵的交、并、余 设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)，i=1,2,…,m, j=1,2,…,n, 则 (1)并：A∪B ? (aij∨bij)m×n (2)交: A∩B ? (aij∧bij)m×n (3)余: Ac ? (1-aij) m×n 给出如下模糊矩阵运算结果 模糊矩阵的运算性质 1）幂等律：A∪A＝A , A∩A=A; 2）交换律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A; 3）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); 模糊矩阵的运算性质 4）吸收律：A∩(A∪B)= A, A∪(A∩B)=A; 5）分配律: (A∪B)∩